Лекция 2. Квантовая динамика

Уравнение Шредингера.

Установим структуру уравнения, которое описывает динамику квантовой системы с волновой функций . Выше были сформулированы основные положения квантовой механики, суть которых состоит в том, что волновая функция:

· полностью описывает поведение квантовой системы,

· удовлетворяет принципу суперпозиции.

Это означает, что интересующее нас уравнение должно содержать производную по времени первого порядка так, что

(2.1)

где - некоторый линейный оператор, действующий на пространственные переменные функции . Оператор может зависеть также от времени как от параметра. Множитель введен для удобства.

Требование линейности оператора вытекает из принципа суперпозиции для волновой функции.

Еще одно ограничение на оператор , можно установить, используя условие нормировки волновой функции :

Дифференцируя обе части по и используя уравнение (2.1), получаем

(2.1)

Отсюда следует, что оператор является эрмитовым и соответствует некоторой физической величине.

Чтобы установить какой величине соответствует оператор , рассмотрим волну де Бройля (ограничимся для простоты одномерным случаем)

(2.2)

Дифференцируя обе части по , получаем

(2.3)

С другой стороны волна де Бройля есть собственная функция оператора импульса

,

т.е.

Учтем, что В нерелятивистском приближении . Подставляя в уравнение (2.3) выражение для энергии , получаем

(2.4)

Таким образом, оператор для данной задачи связан с оператором кинетической энергии соотношением

В общем случае, в квантовой механике, оператор представляется в виде

(2.5)

где - оператор полной энергии или гамильтониан, - оператор потенциальной энергии. Для одной частицы в поле гамильтониан имеет вид

(2.6)

Для системы частиц

(2.7)

Окончательно, уравнение, определяющее динамику произвольной квантовой системы, принимает вид

(2.8)

Если известен явный вид гамильтониана, то уравнение (2.8) определяет волновые функции рассматриваемой физической системы. Это основное уравнение квантовой механики, его называют волновым уравнением и часто уравнением Шредингера. Уравнение Шредингера нужно дополнить начальным условием таким, что а также граничными условиями.