Функции комплексного переменного

Исследование процессов в системах автоматического управления как процессов передачи информации приводит к необходимости количественно описывать два видимых (качественных) изменения информации при прохождение через звенья системы: изменение величины сигналов и их задержку в силу инерционности элементов.

Совместное описание этих изменений требует адекватного математического аппарата, которым являются функции комплексного переменного. Комплексного - значит сложного, позволяющего отразить одновременно два указанных изменения.

Понятие комплексный связано с мнимой единицей: , которая для удобства восприятия и компактности обозначается через j, т.е. j= . Введенное обозначение требует запомнить как и необходимые в дальнейших математических выкладках отношения:

j= ;

= -1;

;

.

Представить физический аналог для j не представляется возможным.

Остается вспомнить слова академика Французской академии Анри Пуанкаре о математике:

«Математика дает возможность получать конкретные результаты и этому надо радоваться. Почему? Это никому не известно».

«..получать конкретные результаты..» - это то, что должно вполне удовлетворить инженера, исследующего процессы в системах управления.

Существует две формы записи комплексных чисел: в декартовой и полярной системах координат:

z= x + jy (декартовая) и (полярная),

чему соответствуют соответствующие изображения комплексных чисел

на комплексной плоскости

j

y z

0 X

Рис. 23.1. Комплексная плоскость: x = Im z - вещественная часть комплексного числа z, y – Re z - мнимая часть комплексного числа z;

и в полярной системе координат (рис.23.2)

φ

z

A

Рис. 23.2. Полярная система координат: A – модуль (величина вектора z), а φ – аргумент комплексного числа z (угол, характеризующий направление вектора z)

Две формы представления комплексных чисел связаны с выбором той или иной их формы при расчетах.

Сложение (вычитание) комплексных чисел проводится в декартовой форме, а умножение (деление) в полярной форме записи.

Так, имеем z₁= x₁ +j y₁, z₂= x₂ +j y₂, z = z₁ + z₂= x₁ +j y₁ +x₂ +j y₂=
= (x₁ +x₂)+j(y₁ +y₂)=x+jy, и результат сложения имеет форму отображаемую в декартовой системе координат.

В другом случае

z₁=A_{1 *} A₂ =A

результат отображается в полярной системе координат.

Из проделанного видно, что только применение разных форм к разным арифметическим операциям позволяет приводить результаты к компактным формам, однозначно отображаемым на графиках.

В случае нахождения j в знаменателе домножают и числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю выражение, приводя результат к исходной, отображаемой на графике декартовой системы координат форме.

Так, имеем z = X – jY,

где X = Re z = и Y= Im z = .

Параметры вектора z в декартовой системе координат однозначно связаны с параметрами полярной системы (рис. 23.3)

A= , φ =

φ

j

Y

A

0 X

Рис. 23.3. Комплексная плоскость, совмещенная с полярной системой координат

В литературе можно встретиться со следующими обозначениями

A = mod z= , φ = arg z, z = .

Наряду с комплексными числами существуют и комплексные функции. Эти функции представляют собой набор значений комплексных чисел, графически представляемых на комплексной плоскости в виде точек, соединенных линиями.

Примером такой функции является

W(jω)= . (23.1)

Здесь ω независимый аргумент, W(jω) функция аргумента ω.
j лишь подчеркивает комплексный характер функции.

Рассмотрим построение такой функции в различных системах координат.
Для декартовой системы получим

W(jω)= = . (23. 2)

Введем обозначения

U(ω) = Re W(jω), где U(ω) – вещественная часть функции W(jω),

V(ω)= Jm W(jω), где V(ω) – мнимая часть функции W(jω).

В рассматриваемом случае

U(ω) = , V(ω) =

Для полярной системы координат (экспоненциальная форма записи)

= , (23. 3)

= A(ω) = - функция носит название амплитудно-частотной характеристики,

- функция носит название фазочастотной характеристики.

То, что в качестве аргумента функции берется частота, связано с частотными методами исследования систем, рассмотренных в …

В отличии от U(ω) и V(ω), A(ω) и имеют конкретный физический смысл, рассмотренный в ч1, разд.15, и потому наиболее часто используются в расчетах.

Графики для строятся при ω меняющемся от 0 до . При этом направление построения графика отмечается стрелками, как показано на рис. Данные графики носят название амплитудно-фазачастотных характеристик – АФЧХ.

ω6

ω5

ω=

ω=0

ω6

ω1

ω2

ω5

Рис. 23.4. Амплитудно-фазочастотная характеристика – АФЧХ.