Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке изменения переменной , если существует производная при любых из рассматриваемого промежутка и .
Если функция имеет первообразную , то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении , где - постоянная.
Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех ее первообразных.
Обозначение: , где – некоторая первообразная для , – произвольная постоянная, – означает неопределенный интеграл, называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.
Процесс отыскания неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Простейшие свойства неопределенного интеграла:
1. Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции: .
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от производной от некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: .
|
|
4. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
5. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:
.
6. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: .
Таблица основных неопределенных интегралов
1.
2.
3.
4. ,
в частности
5.
6.
7.
8.
9.
10.
– произвольные постоянные.