При решении электромагнитной задачи для цилиндра из ферромагнитного материала, имеющего на поверхности слой (индекс «к» означает нагретый до температуры выше точки Кюри), у которого =1, если поверхностный эффект ярко выражен (), могут быть использованы результаты, полученные в работах [1, 3] для полубесконечной среды, на поверхности которой слой глубиной нагрет до температуры выше температуры магнитных превращений ( =1).
При расчете параметров электромагнитного поля в системе индуктор – цилиндр из ферромагнитного материала, имеющий на поверхности слой, нагретый до температуры выше точки Кюри, все параметры для первого слоя цилиндра, где =1, обозначены с индексами «21» (, , и т.д.), что означает первый слой (индекс «1») цилиндра (индекс «2»), а для второго слоя — с индексами «22» (, , и т.д.), что означает второй слой (индекс «2») цилиндра (индекс «2»).
Тогда отношения напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности тока в любой точке первой среды к значению этих величин на поверхности цилиндра имеет вид [1, 3]:
|
|
,
где , , — комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного, электрического полей и плотности тока внутри первого слоя глубиной ( =1) на расстоянии от поверхности цилиндра; , , — комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного и электрического полей и плотности тока на поверхности цилиндра; параметр ; — глубина проникновения тока в материал цилиндра (индекс «2») в первом слое (индекс «1»), т.е. для параметров среды =1 и первого слоя ( — величина расчетная, чисто условная, т.к. толщина первого слоя , нагретого до температуры выше температуры магнитных превращений, меньше : < ), определяется по формуле:
,
— коэффициент, учитывающий изменение параметров и на границе первого и второго слоя; определяется по формуле:
,
где — параметр для второго слоя, определяемый по формуле:
,
и — магнитная проницаемость и электропроводность второго слоя цилиндра.
После подстановки выражений для и в формулу получаем:
.
При и =1 формула упрощается:
.
Из формулы полезно также получить выражение для :
.
Модули отношений параметров электромагнитного поля, приведенных в формуле, равны:
.
Распределение напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности тока во втором слое описываются выражениями –.
На рис. 1.5 приведены распределения плотности тока по сечению, которые справедливы для двух сред плоского нагреваемого предмета и цилиндра при ярко выраженном поверхностном эффекте для трех различных глубин нагрева: кривые 1 и 2 для первой среды рассчитаны по формуле, кривая — 3 по формуле без учета влияния второй среды. Распределение тока во второй среде построены по формуле в предположении, что и .
|
|
Из рис. 1.5 видно, что наличие второй среды оказывает значительное влияние на распределение плотности тока в нагреваемом слое (сравн. кривые 1,2 и кривую 3, рассчитанную без учета второй среды).
Влияет наличие второй среды и на полное электрическое сопротивление двухслойной среды. Полное электрическое сопротивление элемента длиной , шириной и глубиной много больше на поверхности двухслойной среды:
,
где и — комплексное значение и модуль полного электрического сопротивления первой среды в предположении, что , т.е. первая среда занимает все пространство и вторая среда отсутствует; определяются по формулам:
и ;
и — комплексное значение и модуль параметра, учитывающего влияние второй среды (при =1); — угол, на который напряженность магнитного поля в первом слое двухслойной среды отстает от напряженности электрического поля (при ).
Рис. 1.5. Распределение плотности тока по сечению нагреваемого предмета: а) — ; б) — ; в) — (1 — ; 2 — ; 3 — не учтено влияние второй среды, обладающей магнитными свойствами) |
Параметр определяется выражением
и
.
При =4p·10–7 Гн/м и =10–6 Ом·м получим:
,
, .
После этого получим для цилиндра диаметром и длиной :
,
.
Для того, чтобы определить параметры , и , необходимо определить напряженность магнитного поля на поверхности среды. Воспользуемся формулой и определим удельную мощность, отнесенную к площади поверхности цилиндра.
Вначале определим мощность, выделяемую в детали. По закону Джоуля–Ленца она равна:
.
Ток, протекающий в цилиндре, может быть связан с напряженностью магнитного поля на его поверхности с помощью закона полного тока:
.
Тогда:
.
Тогда удельная мощность, отнесенная к площади поверхности цилиндра, будет равна:
.
Отсюда:
.
Затем, задаваясь несколькими значениями , а значит и на поверхности второй среды, определяем по табл. П.3–П6 Приложения значения , и и затем напряженность магнитного поля на поверхности второй среды () и (табл. П.7). Затем на графике и определяем точку, где и для определенного значения определяем и затем параметры , и , что позволяет определить активное и реактивное сопротивления ферромагнитного цилиндра, имеющего на поверхности слой глубиной , нагретый до температуры выше температуры магнитных превращений по формулам и.
Полученное распределение плотности тока для двухслойной среды (рис. 1.5) может быть заменено для теплового расчета более простым — постоянным в слое, глубина которого равна:
,
,
, и зависят от и относительной магнитной проницаемости на границе двух сред.
1.2.3. Распределение параметров электромагнитного поля в цилиндре при не ярко выраженном поверхностном эффекте (0,1 R 2 < D2 < 0,4 R 2)
При сквозном нагреве под пластическую деформацию все сечение должно быть прогрето до температуры 900–1250 °С, в связи с чем в конечной стадии нагрева весь металл становится немагнитным.
Для того, чтобы обеспечить равномерный и быстрый нагрев, частоту приходится выбирать таким образом, чтобы горячая глубина проникновения тока была сравнительно близка к радиусу нагреваемого цилиндра. Поэтому при сквозном нагреве поверхностный эффект нельзя считать ярко выраженным, а электромагнитную волну плоской, как это делалось нами при рассмотрении поверхностной закалки.
В работе [3] (гл. 5, стр. 189–195) рассмотрены электромагнитные процессы и определены распределения напряженностей магнитного () и электрического () поля и плотности тока () в цилиндре при не ярко выраженном поверхностном эффекте. Они имеют следующий вид:
|
|
,
,
.
Так как , а , то выражения – можно представить в виде:
,
,
.
Здесь — относительная координата точки в нагреваемом цилиндре, в которой определяются , , ; — радиальная координата этой точки (); — относительная координата точки на поверхности цилиндра (), определяется по формуле:
,
Рис. 1.6. Распределение плотности тока по сечению металлического цилиндра |
— глубина проникновения тока в полуограниченное металлическое тело с плоской поверхностью или в материал цилиндра при ярко выраженном поверхностном эффекте ); и — символы функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.
Функции , , , позволяют разделить вещественные и мнимые величины комплексных функций и .
На рис. 1.6 приведено распределение плотности тока по сечению цилиндра при различных значениях . Из кривых видно, что уже при , что соответствует , зависимость близка к линейной. При этом и напряженность магнитного поля почти постоянна.
При (высокая частота):
.
Рис. 1.7. Обозначения радиальных координат |
Тогда при (), учитывая, что (рис. 1.7), получаем:
,
.
При , т.е. при (низкая частота):
и .
Тогда: и
.
Таким образом, для напряженность магнитного поля приблизительно постоянна по всему сечению, а плотность тока уменьшается от до нуля при R = 0 по линейному закону.
Ток, наведенный в металлическом цилиндре, нагревает его. Распределение температуры в цилиндре зависит от распределения плотности тока, т.е. от распределения в цилиндре источников тепла.
Электрическое сопротивление цилиндра диаметром и длиной (при ) равно [1, 3]:
,
,
где — коэффициент, учитывающий изменение активного сопротивления цилиндра при не ярко выраженном поверхностном эффекте; определяется по формуле:
,
— коэффициент, учитывающий изменение внутреннего индуктивного сопротивления цилиндра при не ярко выраженном поверхностном эффекте; определяется по формуле:
.
Выражения и можно записать в более удобном виде:
,
,
где и — коэффициенты, учитывающие степень проявления поверхностного эффекта (при ярко выраженном поверхностном эффекте и равны 1), они определяются по формулам:
|
|
, .
Значения коэффициентов и приведены в табл. П.9.