4.11. При расчете сжато-изгибаемых элементов на прочность по краевым напряжениям учитывается добавочный момент в деформируемом стержне от продольной сжимающей силы N с в упругой постановке решения данной задачи. Расчетный деформационный изгибающий момент M д при этих условиях равен сумме моментов от поперечной нагрузки и продольной силы M д = M + N с f д, где f д - полный прогиб от действия M и N с.
В случае симметричного изгиба шарнирно закрепленного по концам стержня, нагруженного синусоидальной или распределенной (с допустимой погрешностью) поперечной нагрузкой, справедлива известная зависимость f д = f /(1 - N с/ N э), f = M / N э, откуда f д = M /(N э - N с), соответственно
M д = M + N с M /(N э - N с) = M [1 - N с/(N э - N с)] = M /(1 - N с/ N э) = M /ξ,
где N э - критическая сжимающая сила по Эйлеру и
ξ = 1 - N э/ N э = 1 - N с/(φ0 R с F бр).
Соответственно в формуле (30) СНиП II-25-80 для любой гибкости φ определяется по формуле (8) СНиП II-25-80 φ = 3000/λ2 и может быть больше единицы. После подстановки выражения для φ в (30) получим ξ = 1 - λ2 N /(3000 R с F бр).
|
|
Для шарнирно закрепленного по концам сжато-изгибаемого стержня постоянного сечения при симметричной нагрузке из общего решения дифференциального уравнения изогнутой оси в тригонометрических рядах имеем
M д = , (10)
где Mi - коэффициенты в формуле разложения эпюры моментов M от поперечной нагрузки
(11)
Если учесть, что
1 + N с/(N э i 2 - N с) = 1/(1 - N с/ N э i 2) и N с/ N э = 1 - ξ, то
M д = (12)
Представим
M д = βн M /ξ,
где
βн = (ξ/ M) (13)
Из анализа знаменателей членов данного ряда следует, что для
i = 1 1 - (1 - ξ)/ i 2 = ξ, а для i ≥ 3 1 - (1 - ξ)/ i 2 ≈ 1,
где из (13) получаем
βн = (M 1/ M) + ξ (14)
Обозначим
M 1/ M = m, а так как ,
то
(1/ M) = 1 - m,
откуда с учетом (14) получаем
βн = m + ξ(1 - m). (15)
Таблица 16
αн = 1,62 | αн = 0,81 | αн = 1,22 | αн = 2,44/(3 - 4 а 2/ l 2) | αн ≈ 1 |
m = 2/π | m = 4/π | m = 8/π2 | m = 4 l sin (a π/ l)/(π2 а) | m = 32/π3 |
Для определения величины деформационного момента M д вместо формулы M д = βн M /ξ, в которой коэффициент, учитывающий схему поперечной нагрузки, введен в числитель, в нормах соответствующий коэффициент перенесен в знаменатель и принята формула
M д = M /(K нξ), (16)
где коэффициент K н = αнξ(1 - αн) вводится прямым образом к ξ, что логичнее.
Выражение для K н по структуре аналогично выражению для βн. Значения самих коэффициентов m и α (табл. 16), βн и K н связаны между собой αн ≈ 1/ m; K н ≈ 1/βн. Коэффициенты αн и K н находятся из приближенной зависимости с погрешностью, не превышающей 3 % для αн и 1,5 % - для Кн.
4.12. При разложении несимметричной нагрузки на симметричную C и кососимметричную K составляющие, соответствующие им формы деформирования, выражаются в виде одной и двух полуволн с гибкостями λс = l / r, λк = l /(2 r) и одинаковой сжимающей силой N с для определения коэффициентов ξс и ξк.
|
|
Здесь l - длина всего стержня, шарнирно закрепленного по концам;
r - радиус инерции поперечного сечения в плоскости деформирования.
Рис. 5. Пример разложения несимметричной схемы нагружения на симметричную и кососимметричную
Рис. 6. Расчленение разнозначной эпюры моментов
Если коэффициенты αнс ≠ 1 и αнк ≠ 1, то формула (32) СНиП II-25-80 принимает следующий вид
M д = M с/(K нсξс) + M к/(K нкξк). (17)
Когда в пределах каждой половины кососимметричного нагружения сохраняется асимметрия, производить дальнейшее разбиение на C и K не следует, так как возникающая при этом погрешность незначительна.
Пример разложения несимметричной схемы нагружения на C и K показан на рис. 5, значения коэффициентов αнс и αнк приняты по табл. 16. При разнозначной эпюре моментов она расчленяется на плюсовую и минусовую, а затем, если одна из них или обе несимметричные, производится их разделение на C и K (рис. 6.)
4.13. Для решения задачи в случае постоянной сжимающей силы по длине стержня, шарнирно закрепленного по концам, применим принцип суперпозиции. Значение момента M для расчетного сечения в пролете при этом условии выражается ввиде алгебраической суммы его составляющих
M д = . (18)
Сжимающая осевая сила N при шарнирном закреплении стержня по концам не влияет на величины опорных моментов и они не будут изменяться.
Для расчетной схемы по рис. 6 момент в пролете
M д = - M 1/(K н1ξс) + M 2(l /2 - x)/(K н2ξк l /2) + Mx /(K изξс),
где
M 1 = (MА + MВ)/2, M А > MВ; M 2 = (MА - MВ)/2;
Mx = qx (l - x)/2;
используя формулу (31) СНиП II-25-80 и коэффициенты из табл. 16, находим
K н1 = 0,81 + 0,19ξс; K н2 = 1,62 - 0,62ξк; K из ≈ 1;
ξс = 1 - λ2с N /(3000 R с F); ξк = 1 - λ2к N /(3000 R с F);
λс = l / r = 2λк.
4.14. При расчете сжато-изгибаемых стержней, заделанных одним или обоими концами, необходимо учитывать упругость их защемления. Это объясняется невозможностью обеспечить для деревянных элементов жесткое защемление из-за возникающих напряжений смятия поперек волокон и соответствующих им больших деформаций, а также других причин, приводящих к повороту торцового сечения. Данное обстоятельство учитывается при расчете на устойчивость центрально сжатых элементов путем увеличения значений коэффициента μ0 (см. п. 4.21 СНиП II-25-80).
Опорные моменты в стержне i - j с упругим защемлением обоих концов равны
Mi = mi (β M 0 j + KjM 0 i)/[2(KiKj - β2)]; (19)
Mj = mj (β M 0 i - KiM 0 j)/[2(KiKj - β2)].
Опорный момент в стержне i – j с упругим защемлением одного i -го конца следует определять по формуле:
(20)
В формулах (19) и (20) приняты следующие обозначения:
M 0 - опорный момент при жестком защемлении определяется: при действии поперечной нагрузки и продольной силы по табл. 17.5; при перемещении опор и действии продольной силы - по табл. 17.6.
(«Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973 г.);
mi ( j ) = μ i ( j ) l /(EJ) - безразмерный параметр упругого защемления (μ - коэффициент жесткости опоры, имеющий размерность момента);
Ki ( j ) = 0,5 mi ( j ) + α,
где α, β, - функции аргумента , где N - продольная сила («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», М., 1960, табл. 16.30).
Значения параметра упругого защемления m принимаются по экспериментальным данным. При отсутствии таких данных допускается принимать mi ( j ) = 5,4 для стержня на двух опорах и mi ( j ) = 9,9 для стержня с одним свободным концом, что соответствует указанному выше увеличению коэффициента μ0.
4.15. Расчет сквозных конструкций с неразрезными сжато-изгибаемыми поясами следует производить по деформированной схеме, как правило, на ЭВМ по стандартным программам.
Допускается приближенно определять деформационные узловые изгибающие моменты в поясах, используя значения осевых усилий и перемещений узлов из расчета конструкции по недеформированной схеме как шарнирно-стержневой статически определимой системы. Пояс рассматривается далее как неразрезная балка, испытывающая воздействие осевых сил, поперечной нагрузки и осадки опор (перемещений соответствующих узлов конструкций). Расчет пояса следует вести в соответствии с п. 17.3.4 («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973). При расчете методом перемещений (уравнение трех углов поворота) для определения части грузовой реакции (опорного момента защемления) rk о, вызванной осадкой опор, следует пользоваться данными табл. 17.7 того же справочника.
|
|
Помимо указанных в пункте 17.3.4 методов расчета при числе неизвестных более двух возможно также применение метода последовательных приближений [способ распределения моментов, см. п. 5.8.1 («Справочник проектировщика Расчетно-теоретический», М., 1960 г.)]. При расчете по деформированном схеме, в отличие от обычного расчета, коэффициенты распределения неуравновешенного момента в i -м узле равны
Ki , i -1 = - ri,i -1/(ri,i -1 + ri , i +1);
Ki,i +1 = - ri,i +1/(ri,i -1 + ri , i +1),
а коэффициент передачи (переноса) равен
μ = β/α,
где r - единичные реакции (моменты защемления от единичного поворота узла), значения которых:
В приведенных формулах α, β, - функции Н.В. Корноухова (см. «Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический». М., 1980, табл. 16.30).
Наибольшее значение деформационного изгибающего момента в стержне i - j длиной l определяется исходя из известных величии концевых (опорных) деформационных моментов M д i и M д j, поперечной нагрузки и постоянного осевого усилия N по методике, приведенной ниже.
Положительным считается момент, растягивающий нижнее волокно. Деформационный изгибающий момент в точке с координатой (расстоянием от i -го конца стержня) x определяется по формуле
M д x = A sin (vx / l) + B cos (vx / l) + C, (21)
где
A = A о + Σ A п;
B = B о + Σ B п;
C = Σ C п;
(индекс «о» относится к членам, определяемым величиной опорных деформационных моментов; индекс «п» - видом и величиной поперечной нагрузки).
|
|
Значения коэффициентов A п, B п и C п вычисляются, используя табл. 17. Коэффициенты A о и B о равны
A о = (M д i - M д j cos v)/sin v;
B о = M д i,
где
.
Величины A, B, C необходимо вычислить отдельно для каждого участка по длине стержня с границами в точках приложения сосредоточенных сил. При этом независимо от рассматриваемого участка всегда учитывается вся поперечная нагрузка, действующая на стержень.
Таблица 17
Коэффициент уравнения моментов | Схема нагрузки | ||
при x ≤ Kl | при x > Kl | ||
A п | ql 2cos2 θ(1 - cos v)/(v 2 sin v) | Pl cos θ sin [(1 - K) v ]/(v sin v) | - Pl cos θ sin (Kv)/(v tg v) |
B п | ql 2cos2 θ/ v 2 | Pl cos θsin (Kv)/ v | |
C п | - ql 2cos2 θ/ v 2 |
4.16. Координаты сечений с экстремальными значениями изгибающих моментов определяются по формулам
x э1 = 0
x эк = l ψк/ v, (K = 2, 3, …), (22)
где
ψк = arcsin (A / M) + (K - 2)π;
M = S (B) ;
Рис. 7. Схема загружения стержня
Отбор пригодных значений x э производится из условия 0 ≤ x эк ≤ l. При x эк < 0 принимается x эк = 0, при x эк > l принимается x эк = l. После каждого вычисления x э необходимо дополнительно проверять принадлежность точки тому участку, для которого определены параметры A, B и C. Если это не выполняется, то следует вновь вычислить указанные параметры, исходя из принадлежности точки следующему участку, и заново определить x э.
Если при этом окажется, что x э принадлежит не данному, а предыдущему участку, то принимается
x эк = x гр,
где x гр - координата границы между рассмотренными участками.
Экстремальные значения деформационных моментов M эк определяются из (21) при x = x э по (22).
Наибольший по абсолютной величине деформационный изгибающий момент в пределах пролета i - j определяется сравнением его экстремальных значений.
Пример. Определить наибольший деформационный изгибающий момент в стержне 1 - 2 по рис. 7. Стержень имеет постоянное сечение с изгибной жесткостью EJ = 1600 кН×м2.
Стержень разбит по длине на три участка с границами в точках приложения сосредоточенных сил. Коэффициенты A, B, и C уравнения моментов будем определять отдельно для каждого участка.
Вычислим параметр сжимающей нагрузки v и другие величины, необходимые для расчета
= = 1,5; v 2 = 2,25; sin v = 1; cos v = 0,0707; tg v = 14,1.
Относительная координата точки приложения первой сосредоточенной силы K 1 = x гр1/ l = 1/3, второй силы K 2 = x гр2/ l = 2/3. Соответственно
sin [(1 - K 1) v ] = 0,841; sin (K 1 v) = 0,479;
sin [(1 - K 2) v ] = 0,479; sin (K 2 v) = 0,841,
cos θ = 1.
Вычислим коэффициенты уравнения моментов
A о = (M д1 + M д2cos v)/sin v = (-9 + 7×0,0707)/1 = -8,5 кН×м;
B о = M д1 = -9 кН×м.
Вторые слагаемые коэффициентов A, B, C, зависящие от вида и величины поперечной нагрузки, будем вычислять отдельно для каждого участка.
Участок 1.
Σ A п = ql 2cos2 θ(1 - cos v)/(v 2sin v) + P 1 l cos θsin [(1 - K 1) v ]/(v sin v) + P 2cos θsin [(1 - K 2) v ]/(v sin v) = 13×32×12(1 - 0,0707)/(2,25×1) + 5×3×1×0,841/(1,5×1) + 5×3×1×0,479/(1,5×1) = 61,52 кН×м;
Σ B п = ql 2cos2 θ/ v 2 = 13×32×12/2,25 = 52 кН×м;
Σ C = - ql 2cos2 θ/ v 2 = -13×32×12/2,25 = -52 кН×м.
Участок 2.
Σ A п = ql 2(1 - cos v)cos2 θ/(v 2sin v) - P 1 l cos θsin (K 1 v ]/(v tg v) + P 2 l cos θsin [(1 - K 2) v ]/(v sin v) = 13×32(1 - 0,0707)12/(2,25×1) - 5×3×1×0,479/(1,5×14,1) + 5×3×1×0,479/(1,5×1) = 52,77 кН×м;
Σ B п = ql 2cos2 θ/ v 2 + P 1 l cos θsin (K 1 v)/ v = 13×32×12/2,25 + 5×3×1×0,479/1,5 = 56,79 кН×м;
Σ C п = - ql 2cos2 θ/ v 2 = -13×32×12/2,25 = -52 кН×м.
Участок 3.
Σ A п = ql 2(1 - cos v)cos2 θ/(v 2sin v) - P 1 l cos θsin (K 1 v)/(v tg v) - P 2 l cos θsin (K 2 v)/(v tg v) = 13×32(1 - 0,0707)12/(2,25×1) - 5×3×1×0,479/(1,5×14,1) - 5×3×1×0,841/(1,5×14,1) = 47,39 кН×м;
Σ B п = ql 2cos2 θ/ v 2 + P 1 l cos θsin (K 1 v)/ v + P 2 l cos θsin (K 2 v)/ v = 13×32×12/2,25 + 5×3×1×0,479/1,5 + 5×3×1×0,841/1,5 = 65,2 кН×м;
Σ C п = - ql 2cos2 θ/ v 2 = -13×32×12/2,25 = -52 кН×м.
Коэффициенты A, B, и C равны
C = Σ C п = -52 кН×м на всех участках.
Определим для всех участков :
Координата первой точки экстремального значения момента x э1 = 0. Для второй точки, предполагая, что она находится на первом участке, определим
ψ2 = arcsin (A / M) = arcsin (53,02/68,3) = 0,889,
тогда
x э2 = ψ2 l / v = 0,889×3/1,5 = 1,78 > x гр1.
Наше предположение оказалось неверным. Определим заново значение ψ2, предполагая, что точка находится в пределах второго участка,
ψ2 = arcsin (A / M) = arcsin (44,27/65,14) = 0,747.
Соответствующая координата
x э2 = ψ2 l / v = 0,747×3/1,5 = 1,494 м.
Эта точка находится в пределах второго участка, так как
x гр1 < x э2 < x гр2.
Определим параметр ψ3 третьей точки, предположив, что она расположена на втором участке,
ψ3 = arcsin (A / M) + π = arcsin (44,27/65,14) + 3,14 = 3,89.
Соответственно,
x э3 = ψ3 l / v = 3,89×3/1,5 = 7,78 м > x гр2.
В предположении, что третья точка находится на третьем участке, находим
ψ3 = arcsin (A / M) + π = arcsin (38,89/68,3) + 3,14 = 3,75
и
x э3 = 3,75×3/1,5 = 7,5 > l.
Из этого следует, что x э3 = l.
Вычислим значение изгибающего момента в точке x э2:
M э2 = A sin (vx э2/ l) + B cos (vx э2/ l) + C = 44,27 sin (1,5×1,494/3) + 47,79cos (1,5×1,494/3) - 52 = 13,15 кН×м.
Таким образом, экстремальные значения изгибающий момент имеет на концах стержня (M э1 = M д1 = -9 кН×м и M э3 = M д3 = -7 кН×м) и в одной точке в пролете.
По абсолютной величине наибольшим является момент в пролете
M э2 = M д2 = 13,15 кН×м.