Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами - так называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах американского экономиста В. Леонтьева. В данном пособии рассмотрим наиболее простой вариант такой модели, сохраняющий, однако, ее основное математическое содержание.

Будем предполагать, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отрасли является в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике даже на отдельном предприятии производится значительное разнообразие выпускаемой продукции. Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структуры народного хозяйства, изучить функционирование народного хозяйства «в первом приближении».

Итак, предполагаем, что имеется n различных отраслей , каждая из которых производит свой продукт. В дальнейшем отрасль , будем коротко называть «i -я отрасль». В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [ ] (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

- общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени - так называемый валовой выпуск отрасли i;

- объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

- объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, - объем конечного потребления.

Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указанные величины можно свести в таблицу 2.1. Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i =1,2, …,n должно выполняться соотношение

, (2.3)

означающее, что валовой выпуск расходуется на производственное потребление, равное и непроизводственное равное . Будем называть равенства вида (2.3) соотношениями баланса.

Таблица 2.1. Таблица величин объемов n различных отраслей

Производственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
…
…
……………	…	…
…

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т.п.), или стоимостными; в зависимости от этого различают натуральный и стоимостный межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостный баланс.

В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в 30-е годы XX века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.

В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве , где - постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.

Итак, согласно гипотезе линейности имеем

(i,j= 1,2, …, n). (2.4)

Коэффициенты называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя соотношения (2.4) в уравнения баланса (2.3), получим систему n линейных уравнений относительно переменных , ,…, :

(2.5)

или, в матричной записи,

, (2.6)

где

, , .

Вектор называется вектором валового выпуска, вектор - вектором конечного потребления, а матрица А - матрицей прямых затрат. Соотношение (2.6) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [ ] задается вектор конечного потребления, требуется же определить вектор валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (2.6) с неизвестным вектором при данной матрице А и заданном векторе . При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (2.6).

1. Все компоненты матрицы А и вектора неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и ). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора и записывать это так:

А 0, 0.

2. Все компоненты вектора также должны быть неотрицательными:

0.

Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (2.5) видно, что совпадает со значением при =1 (1 руб.).

Таким образом, есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в один рубль продукции отрасли j. Отсюда видно, что стоимостный подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т.е. однопродуктовые отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей можно говорить о вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отраслью; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 руб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производство предметов потребления).