Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры

В игре с ненулевой суммой необязательно, чтобы один из участников выигрывал или проигрывал, они могут выигрывать или проигрывать одновременно, т.к. интересы игроков не являются полностью противоположными и их поведение более разнообразно. Игры с ненулевой суммой могут быть:

1. Кооперативными – игрокам разрешено обсуждать свои стратегии перед игрой и договариваться о совместных действиях образуя коалиции, при этом основная задача состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции.

2. Некооперативные. В которых игрокам не разрешено осуществлять соглашения, или это невозможно, и тогда игроки принимают решение независимо друг от друга, т.к. называемая биматричная игра.

Подход к решению некооперативных игр состоит в определении точек равновесия игры обобщающего понятие оптимальности. Пара стратегий (x,y) для игрока 1-го и 2-го называется точкой равновесия по Нэшу если одному из игроков не выгодно отклонятся от своей стратегии в одиночку, т.е.

Теорема:

Для любой конечной игры с нулевой суммой (биматричной игры) всегда существует хотя бы одна равновесная пара смешанных стратегий.

Точка T(t₁,t₂), где t₁ это величина выигрыша, который может получить каждый из игроков не вступая в коалицию, называется точкой угрозы.

Множество оптимальных решений по Парето - это множество точек, принадлежащих множеству S допустимых стратегий игроков, для которых увеличение выигрыша одного игрока возможно за счет уменьшения выигрыша другого. Это множество так называемая северо-восточная граница множества S.

Все точки оптимального множества по Паретто, находящиеся выше и правее точки угрозы, образуют переговорное множество. Игрокам нет смысла договариваться относительно решений вне переговорного множества, т.к. положение одного из игроков может быть улучшено на этом множестве при сохранении положения его партнера и можно договариваться о более выгодных решениях, либо для одного из партнеров теряет смысл вступать в коалицию, т.к. не худших результатов можно достичь и в одиночку. На переговорном множестве выделяется точка решения Нэша (N), в которой достигается max (h₁-t₁)(h₂-t₂); h_i – выигрыши, t_i – платежи.

Теорема:

Если множество возможных платежей S выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то точка Нэша существует и единственна и представляет одно из возможных решений, от которого нет оснований отказываться ни одному из игроков.

Пример:

При разработке модели автомобиля инженера интересует срок службы (U) и его max скорость (V). В его возможностях варьировать технические характеристики (мощность, форма, вес отдельных агрегатов) в некоторых заданных границах. Каждому набору этих характеристик, которые составляют множество альтернатив, соответствуют исходы (U,V), образующие множество S. При выборе исхода необходимо ограничится теми исходами, для которых невозможно одновременно улучшение обоих показателей, т.е. исходов, оптимальных по Парето. Выбор исхода следует производить из множества S, которые несравнимы между собой по предпочтению, без дополнительной информации о том, сколькими единицами выигрыша по одному показателю можно компенсировать проигрыш единицы по другому. Эта информация о соотношении показателей эффективности может 2-мя наиболее важными способами:

1. Упорядочение показателей важности, так называемый метод последовательных уступок.

2. Задание весов относительной важности

Возвращаясь, к примеру, можно указать:

M_опт.

V A

верхняя граница

B

правая граница

U

AB – Парето-оптимальное множество. Если принять, что скорость важнее срока службы, тогда потерю единицы показателя V нельзя компенсировать ни каким увеличением значения показателя U, тогда оптимальным является A. Если принять, что max скорость в 2,5 раза важнее срока службы (задан вес относительной важности), тогда 5U+2V=const;

Тогда рассматриваем семейство прямых, которые называются линиями безразличия (считаем равноценными любые 2 исхода, принадлежащие линии этого семейства). Строим эти линии и более предпочтительным будет тот исход, который расположен на более высокой прямой семейства.