Условный экстремум функции

Экстремум функции f(x, y) называется условным, если переменные связаны между собой неким соотношением g(x, y) = 0.

Условный экстремум функции находится методом неопределенного множителя Лагранжа. Строится новая функция F(x, y, l) = f(x, y) + lg(x, y), где l – неопределенный множитель, который рассматривается как новая переменная и ищется экстремум F.

Экстремум функции находится из системы уравнений

.

@ Задача 3. Найти условный экстремум функции f(x, y) = 2x ² – 3xy – 10x при выполнении условия

g(x, y) = 6 –2x – 3y = 0.

Решение: Строится функция Лагранжа

F(x, y, l) = 2x ² – 3xy – 10x + l(6 – 2x – 3y) и вычисляются частные производные

.

Таким образом, x =2; y = 2/3; f(2, 2/3) = – 16.

@ Задача 4. Найти условный максимум производственной функции Q = 4LK + L ²при выполнении условия K + 2L = 105.

Решение: Строится функция Лагранжа

F(K, L, l) = 4LK + L ² + l(105 – K – 2L) и вычисляются частные производные

.

Таким образом, L = 30; K = 45; Q_max = 6300.