2015-04-01
6197
Определение 1. Линейной комбинацией векторов 
, 
, 
называется сумма произведений этих векторов на какие-нибудь числа 
, 
, 
: 
+ 
+ 
.
Определение 2. Векторным базисом в данной плоскости называется любая пара неколлинеарных векторов и этой плоскости.
Вектор называют при этом первым базисным вектором, вектор -вторым.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если базис , – векторный базис в плоскости, тогда любой вектор 
этой плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов 
: = х +у . (*)
Определение 3. Равенство(*) называют разложением вектора по базису , , а числа х и у – координатами вектора в базисе , (или относительно базиса , ). Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко: ={x,y}. Из определения координат вектора относительно базиса следует, что равные векторы имеют соответственно равные координаты.
Два и более векторов в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в этой плоскости.
Определение 4. Векторным базисом в пространстве называют любые три вектора , , .
Вектор называют при этом первым базисным вектором, - вторым, -третьим.
Замечание. 1. Три вектора = { 
}, = { 
} и = { 
} образуют базис пространства, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля:
.
2. Основные положения теории определителей и способы их вычисления рассмотрены в модуле 1 «линейная алгебра».
Теорема 2. Пусть , , - векторный базис в пространстве. Тогда любой вектор в пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов , и :
= х +у +z . (**)
Определение 5. Равенство (**) называют разложением вектора по базису , , , а числа x,y,z–координатами (компонентами) вектора в базисе , , .
Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко: = {x,y,z}.
Определение 6. Базис , , называется ортонормированным, если векторы , , попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения 
, 
, 
.
