1. Скалярное умножение коммутативно, т.е. для любых векторов справедливо равенство
)
2. ненулевой вектор, и
3. ние равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нуль-вектору.
4. и
заданы своими координатами в ортогональном базисе
то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
Отсюда следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:
5. Для любых векторов справедливо равенство
(дистрибутивность операции сложения относительно операции умножения векторов).
6. Для любых векторов и любого числа k справедливо равенство
(Ассоциативность по отношению к умножению вектора на число.)
7. Пусть два ненулевых вектора,
угол между ними. Из определения скалярного произведения следует:
8. Пусть в пространстве дана некоторая ось единичный вектор
который составляет с координатными осями углы
Тогда проекция произвольного вектора
эту ось определяется формулой
Пример 1. Найти проекцию вектора на ось
, образующую с координатными осями острые углы.
|
|
Решение. Направляющие косинусы оси таковы:
Следовательно,
Ответ:
Пример 2. Даны векторы Найти
Решение. Так как
Ответ: