При условии доброжелательности игрок 2 оптимальный выигрыш игрока 1 в игре равен , а – его оптимальная стратегия.
Доказательство.
Аналогично доказательству теоремы 1.
Замечание 1 и 2 к теореме 1 справедливы и для теоремы 2.
Кроме того, в силу ≤ имеем ≥ , то есть выигрыш игрока 1 в игре больше или равен его выигрышу в игре .
Упражнение.
Докажите, что если в антагонистической игре ,
существует седловая точка, то
Пример.
Ранее на этом примере, мы строили ситуации равновесия на сложных стратегиях. Теперь проиллюстрируем решение иерархических игр.
Игра
Определим множества рациональных ответов игрока 2.
(1) = 3, (1,3) = 7, (1,3) = 2
(2) = 2, (2,2) = 4, (2,2) = 4
(3) = 2, (3,2) = 3, (3,2) = 0
Тогда
max min () = max [2,4,0]=4
={1,2,3} () ={1,2,3},
при =2, =2