Этот метод применяется для решения задач с двумя неизвестными. Тогда система ограничений может быть изображена на плоскости, а образом целевой функции является линия уровня плоскости - прямая. Линию уровня перемещают параллельно самой себе по области ограничений и отмечают точку «входа» в область и точку «выхода». Это и будут точки максимума и минимума целевой функции. Остается найти значение целевой функции в этих точках.
Возможны следующие случаи:
¾ область допустимых решений не ограничена, задача не имеет оптимального решения (рис. 14, а);
¾ линия уровня параллельна одной из границ, и если на этой границе достигается оптимум, задача имеет бесчисленное множество решений (рис. 14,6);
¾ система ограничений противоречива, тогда задача решений не имеет (рис. 14, в);
¾ задача имеет единственное решение, лежащее в вершине выпуклого многоугольника допустимых решений (рис. 14, г).
Пример 1. Решить графически задачу.
Решение. Построим на плоскости область, заданную системой ограничений, и линию уровня целевой функции (рис. 15).
Рисунок 14 – Области допустимых значений
Видим, что точки входа и выхода линии уровня (жирная прямая на рис. 15) - это точки О и А. Вточке О (0; 0) целевая функция принимает значение 0. В точке А пересекаются прямые и . Решив систему из этих уравнений, получим координаты точки: х1 = 40, х2= 20. Целевая функция принимает в точке А значение 140. Следовательно, это и есть наибольшее значение целевой функции при данных ограничениях.
Рисунок 15 – Решение примера 1
Пример 2. Найти максимум целевой функции
на системе ограничений:
Решение. Построим систему ограничений и линию уровня целевой функции (рис. 16). Линия уровня целевой функции параллельна границе (2). Поэтому крайние точки, в которых линия уровня касается области. Точка на оси ординат с координатами (0; 3) и граница (2).
F(0; 3) =-3, а в любой точке границы (2) F = 2, например, F(2; 0) = 2. Таким образом, задача имеет единственное оптимальное решение при отыскании максимума функции и бесчисленное множество оптимальных решений при отыскании минимума.
Рисунок 16 – Решение примера 2
Замечание. Если в задаче система ограничений содержит более двух неизвестных, то для ее решения графический способ применяют частично в зависимости от наиболее ценных неизвестных или попарно рассматривают варианты.
Задачи для самостоятельного решения
1. Изобразить области, соответствующие решениям систем неравенств и равенств, заданных условиями:
а) б) в)
2. Решить задачи, исходя из геометрической интерпретации задачи линейного программирования:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
3)