Коэффициент эластичности

В экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель, как коэффициент эластичности (Э), вычисляемый по формуле

(2.14)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результат у при изменении фактора х на 1 % от своего номинального значения. Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен

(2.15)

и зависит от x, поэтому рассчитывают средний коэффициент эластичности

(2.16)

Средний коэффициент эластичности ( ) показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от сво­ей величины при изменении фактора х на 1 % от своего номинального значения.

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под парной регрессией?

2. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?

3. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?

4. Какие функции чаще всего ис­пользуются для построения уравнения парной регрессии?

5. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае линейной регрессии?

6. Как вычисляется и что показывает индекс детерминации?

7. Как проверяется значимость уравнения регрессии?

8. Как проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии?

9. Как вычисляются и что показывают коэффициент эластичности Э, средний коэффициент эластичности ?

Задачи.

1. Из предложенных уравнений регрессии выбрать лучшее, т. е. то, которое дает лучшее приближение к данным наблюдения

ŷ_x = 21,5 + 4,35×x, R² = 0,95,

ŷ_x = 20 + 1,115 × ln (x), R² = 0,79.

(Первое)

2. По величине коэффициента детерминации R² = 0,56 определить долю вариации результативного признака, объясненного уравнением регрессии. (56 %)

3. Найти критические значения F –критерия и t –критерия по количеству наблюдений и уровню значимости: n = 50, α=0,01, m = 1; n = 20, α =0,05, m = 1, где m – количество факторных переменных. (7,19; 4,41)

4. По величине коэффициента детерминации R² = 0,4 проверить значимость (α=0,05) уравнения линейной парной регрессии. Число наблюдений n = 50. (Значимо)

5. По заданному уравнению регрессии

ŷ_x = 21,5 + 4,35×x,

найти средний коэффициент эластичности, если . (0,90)

6. По заданному коэффициенту эластичности Э = 1,5 определить на сколько изменится y при изменении x на 2 единицы, если до изменения признаки y и x принимали значения x = 40 y = 10. (0,75)

Лабораторная работа№ 2

Задание. На основании данных таблицы П1.2 для соответствующего варианта (табл. 2.1):

1. Построить предложенные в таблице 2.1 уравнения регрессии, включая линейную регрессию, используя формулы (2.3) – (2.11).

2. Вычислить показатели качества и точности для каждого уравнения.

3. Проверить значимость уравнений регрессии при уровнях значимости 0,05 и 0,01.

4. Определить лучшее уравнение регрессии на основе средней ошибки аппроксимации.

5. Определить средний коэффициент эластичности по уравнению линейной регрессии.

6. Графически представить результаты моделирования.

Таблица 2.1

Варианты кривых выравнивания к лабораторной работе № 2

Вариант	Графы из табл. П1.2	Виды кривых выравнивания
Линейная	Степенная	Экспоненциальная	Показательная	Логарифмическая	Гиперболическая
	1,14	*	*
	2,14	*		*
	4,14	*			*
	6,14	*				*
	9,14	*					*
	11,14	*	*
	12,14	*		*
	2,15	*			*
	3,15	*				*
	7,15	*					*
	8,15	*	*
	12,15	*		*
	1,17	*			*
	2,17	*				*
	4,17	*					*
	6,17	*	*
	9,17	*		*
	11,17	*			*
	12,17	*				*
	1,19	*					*
	2,19	*	*
	4,19	*		*
	6,19	*			*
	9,19	*				*
	11,19	*					*

Таблица 2.2

Исходные данные для примера выполнения лабораторной работы№ 2

	Области	x	y		Области	x	y
	Белгородская				Рязанская область
	Брянская				Смоленская
	Владимирская				Тамбовская
	Воронежская				Тверская
	Ивановская				Тульская
	Калужская				Ярославская
	Костромская				Архангельская
	Курская				Вологодская
	Липецкая				Калининградская
	Московская				Ленинградская
	Орловская				Мурманская

Пример выполнения лабораторной работы№ 2

Исходные данные:

- наблюдаемые значения переменных x и y заданы в таблице 2.2;

- построить две модели: линейную и степенную.

1) Определим коэффициенты a и b линейной регрессии (2.3), используя результаты промежуточных расчетов, приведенные в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Промежуточные результаты расчетов для линейной регрессии

Номер наблюдения	x	y	x 2	xy		|( –y)/y|	( –y)2	()2
					33,381	0,150	31,57	1,00
					38,616	0,007	2,61	9,00
					38,616	0,034	6,84	16,00
					37,664	0,014	2,77	16,00
					40,519	0,490	210,81	196,00
					46,230	0,008	10,43	9,00
					35,284	0,117	18,36	81,00
					33,381	0,171	43,81	0,00
					37,664	0,240	106,84	64,00
					45,754	0,329	332,92	576,00
					39,567	0,026	0,32	1,00
					36,712	0,051	7,36	36,00
					39,092	0,035	0,01	1,00
					35,760	0,054	1,54	9,00
					37,664	0,043	7,10	25,00
					42,899	0,247	123,24	196,00
					44,326	0,161	69,33	16,00
					44,326	0,194	86,98	25,00
					45,278	0,252	127,19	36,00
					38,616	0,224	88,07	64,00
					38,140	0,229	66,26	100,00
					50,513	0,206	72,04	361,00
Сумма						3,282	1416,371
Среднее значение	126,91		16190,55	5116,636		0,149	64,381	83,545

,

.

Уравнение линейной регрессии y = – 20,39 + 0,476· х.

2) Для построения степенной модели введем новые переменные x’ = ln x; y’ = ln y, вычислим значения новых переменных и выполним промежуточные расчеты (табл. 2.4)

Таблица 2.4

Промежуточные результаты расчетов для степенной регрессии

Номер наблюдения	x’=lnx	y’=lny	(x’)2	x’ · y’		|( –y)/y|	( –y)2	()2
	2	3	4	6
	4,727	3,664	22,348	17,319	33,850	0,144	26,523	1,000
	4,820	3,611	23,235	17,406	38,065	0,044	1,134	9,000
	4,820	3,584	23,235	17,274	38,065	0,073	4,265	16,000
	4,804	3,584	23,079	17,215	37,291	0,046	1,667	16,000
	4,852	3,258	23,542	15,808	39,623	0,558	185,585	196,000
	4,942	3,761	24,420	18,587	44,373	0,075	1,884	9,000
	4,762	3,434	22,678	16,353	35,371	0,138	19,103	81,000
	4,727	3,689	22,348	17,439	33,850	0,165	37,823	0,000
	4,804	3,871	23,079	18,597	37,291	0,215	114,681	64,000
	4,934	4,159	24,349	20,522	43,973	0,285	401,095	576,000
	4,836	3,664	23,390	17,718	38,842	0,015	0,025	1,000
	4,787	3,526	22,920	16,882	36,520	0,080	6,353	36,000
	4,828	3,664	23,313	17,689	38,453	0,002	0,299	1,000
	4,771	3,611	22,759	17,227	35,753	0,034	1,555	9,000
	4,804	3,555	23,079	17,080	37,291	0,076	5,249	25,000
	4,890	3,989	23,916	19,508	41,588	0,206	154,048	196,000
	4,913	3,584	24,134	17,605	42,777	0,231	45,928	16,000
	4,913	3,555	24,134	17,466	42,777	0,266	60,483	25,000
	4,927	3,526	24,278	17,375	43,573	0,332	91,649	36,000
	4,820	3,871	23,235	18,660	38,065	0,196	98,702	64,000
	4,812	3,401	23,157	16,367	37,678	0,271	58,947	100,000
	5,004	4,078	25,039	20,404	48,007	0,144	120,855	361,000
Сумма	106,50	80,638	515,667	390,500	863,077	3,596	1437,853	1838,000
Среднее значение	4,841	3,665	23,439	17,750	39,231	0,163	65,357	83,545

Для определения значений параметров воспользуемся формулами (2.3а)

,

.

Откуда

.

Уравнение степенной регрессии имеет вид .

3) Вычисление показателей качества: индекс корреляции R (2.10), коэффициент детерминации R ², средняя квадратическая ошибка ε _кв (2.11), средняя ошибки аппроксимации (2.12).

Для линейной модели (табл. 2.3)

,

R ² = R· R = 0,479·0,479 = 0,229,

ε _кв = ,

.

Для степенной модели (табл. 2.4)

,

R ² = R· R = 0,467·0,467 = 0,218,

ε _кв = ,

.

4) Проверка значимости уравнений регрессии (п. 2.4).

Для линейной модели (табл. 2.3):

.

F _{крит,0,05} = FРАСПОБР(0,05;1;20)=4,35.

F _{крит,0,01} = FРАСПОБР(0,01;1;20)=8,10.

Так как > F _{крит,0,05} = 4,35, при α = 0,05 линейное уравнение значимо.

Так как < F _{крит,0,01} = 8,10, при α = 0,01 линейное уравнение не значимо.

Для степенной модели (табл. 2.4):

.

Так как критические значения критерия F _{крит,0,05} и F _{крит,0,01} те же самые, то делаем вывод, что при α = 0,05 степенное уравнение значимо, при α = 0,01 – не значимо.

5) Определение лучшего уравнения регрессии (по средней ошибке аппроксимации).

Так как > , то линейная модель дает меньшую погрешность.

6) Определение среднего коэффициента эластичности по уравнению линейной регрессии (2.16).

Результаты:

1) Уравнение линейной регрессии y = – 20,39 + 0,476· х.

2) Уравнение степенной регрессии .

3) Показатели качества и точности:

Для линейной модели (табл. 2.3)

,

R² = 0,229,

ε_кв =8,024,

.

Для степенной модели (табл. 2.4)

,

R² = 0,218,

ε_кв =8,084,

.

4) Линейное уравнение значимо при α = 0,05 и не значимо при α = 0,01.

Степенное уравнение значимо при α = 0,05 и не значимо при α = 0,01.

5) Линейная модель дает меньшую погрешность.

6) Средний коэффициент эластичности

7) Графическое представление результатов моделирования (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Графическое представление результатов моделирования.