Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то вероятность того, что отклонение частости от вероятности p меньше по абсолютной величине положительного числа e, не меньше, чем разность ,т. е.
. (6.7)
Данная теорема называется законом больших чисел в форме Бернулли.
Примечание. Эта теорема опубликована в 1713 г., она положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Я. Бернулли было очень сложным. Более простое доказательство предложил П. Л. Чебышев в 1846 г.
Тест 6.11. вероятность появления события A в n независимых испытаниях при применениизакона больших чисел в форме Бернулли должна быть:
1) p > 0,5;
2) произвольная;
3) p < 0,5;
4) постоянная;
5) .
Пример 6.7. Вероятность положительного исхода отдельного испытания p = 0,8. Оценить вероятность того, что в 1000 независимых повторных испытаниях отклонение частости положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,05.
Решение
|
|
В данном случае n = 1000; p = 0,8; e = 0,05. Применяя неравенство (6.7), имеем
.
Ответ: .
Пример 6.8. Оценить вероятность того, что частость появления грани с четным числом очков в 1000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления грани с четным числом очков по абсолютной величине меньше чем на 0,1.
Решение
В данном случае n = 1000, e = 0,1. Так как в отдельном подбрасывании игрального кубика вероятность выпадения грани с четным числом очков постоянна и равна , то p = 0,5. Применяя неравенство (6.7), имеем
.
Ответ: .
Тест 6.12. Вероятность наступления события A в каждом испытании равна 0,4. Оценкой вероятности того, что в 20000 испытаний отклонение частости события A от его вероятности меньше по абсолютной величине 0,01, по теореме Бернулли является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Тест 6.13. Пусть вероятность того, что покупателю книжного магазина необходима книга А, равна 0,3. Оценкой вероятности того, что при 1000 побывавших в магазине покупателях отклонение частости покупки книги А от вероятности покупки этой книги меньше по абсолютной величине 0,145, по теореме Бернулли является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Тест 6.14. Оценкой вероятности того, что частность появления грани с шестью очками в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления грани с шестью очками по абсолютной величине меньше чем на 0,01, по теореме Бернулли является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Тест 6.15. Оценкой вероятности того, что частность появления герба в 100 независимых подбрасываниях монеты отклоняется от вероятности появления герба по абсолютной величине меньше чем на 0,01, по теореме Бернулли является выражение:
|
|
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите неравенство Маркова.
2. Запишите неравенство Чебышева.
3. Что называется законом больших чисел?
4. Сформулируйте теорему Чебышева.
5. Сформулируйте теорему Бернулли.
6. Закон больших чисел.