Интервальные оценки неизвестных параметров

Более полный и надежный способ оценивания параметров распределений заключается в определении не единственного точечного значения, а интервала, который с заданной вероятностью содержит истинное значение оцениваемого параметра. Для заранее выбранного уровня значимости , по выборке определяются два числа и , , между которыми с вероятностью находится неизвестный параметр : .

Число называется доверительной вероятностью (надежностью), , – доверительными нижней и верхней границами. Величины , определяются по результатам выборки, следовательно, являются случайными.

Если – точечная оценка неизвестного параметра q, то , где – предельная ошибка (уровень надежности) выборки, которая либо задается заранее, либо вычисляется.

На практике часто используются односторонние доверительные интервалы, которые определяются из условий или и называются правосторонними и левосторонними соответственно.

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки и надежности . При увеличении длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности к 1 – увеличивается. В качестве принимают значения 0,9; 0,95; 0,99, что соответствует 90, 95, 99%-ым доверительным интервалам соответственно.

Задача определения доверительного интервала может быть решена только тогда, когда удается найти закон распределения случайной величины, используемой в качестве оценки. В общем случае этот закон зависит от самого неизвестного параметра. Однако иногда удается перейти от оценки к таким функциям выборочных значений, закон распределения которых зависит только от объема выборки и закона распределения случайной величины и не зависит от неизве-стных параметров.

Пусть выборка произведена из генеральной совокупности значений нормально распределенной с параметрами и случайной величины , т.е. ~ .

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии с доверительной вероятностью имеет вид:

или .

Здесь – квантиль порядка нормального распределения, заданного функцией распределения вероятностей

, т. е.

Выражение – точность оценки. Из соотношения находится минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность .

Число , как правило, неизвестно, поэтому его заменяют приближенным значением: .

Пример 7.4. Автомат наполняет пакеты с чипсами. Установлено по выборочным данным, что стандартное отклонение веса пакетов г. Среднее значение веса пакета г (при n = 36). В каком интервале с надежностью 95% лежит истинное значение веса, считая что вес подчиняется нормальному распределению ~ N (m; 10).