Исследование нормальности распределения

По методике Цунга была исследована группа студентов факультета психологии. Измерялся уровень депрессивного состояния. (Результаты исследований для каждого варианта представлены в таблице ниже). Построить кривую распределения уровня депрессивного состояния у студентов-психологов. Отличается ли распределение признака от нормального?

Цель задания. Расчет асимметрии и эксцесса. Освоение метода проверки отклонения распределения от нормального с помощью параметров асимметрии и эксцесса, графически, а также с помощью критерия Колмогорова-Смирнова.

Таблица 4 – Результаты измерений депрессивного состояния

Группа студентов факультета психологии по методике Цунга

Результаты измерений

Решение. Для решения задачи перенесем данные из таблицы 4 на лист рабочей книги MS Excel.

а) Используя следующие формулы для заданной выборки найдем асимметрию А

и эксцесс Е

В результате получаем следующие значения асимметрии и эксцесса:

Для проверки нормальности распределения по значениям асимметрии и эксцесса найдем для них критические значения по формулам:

Таким образом, т.к. найденные значения асимметрии и эксцесса не превышают по модулю своих критических значений, то распределение можно считать нормальным.

б) Проверим с помощью критерия Колмогорова-Смирнова гипотезу о том, что эмпирические данные, представленные в таблице 5, подчиняются нормальному распределению при уровне значимости a =0,1.

Статистика Колмогорова для проверки гипотезы H ₀ против двусторонней альтернативы определяется как максимум модуля отклонения эмпирической функции распределения F’ (x) от гипотетической F (x).

А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F (x) величины Х при неограниченном увеличении количества наблюдений n функция распределения случайной величины асимптотически приближается к функции распределения . Иначе говоря, этот критерий характеризует вероятность того, что величина не будет превосходить параметр l для любой теоретической функции распределения. Уровень значимости a выбирается из условия . Результаты расчетов представим в таблице 7.

Рисунок 7 – График накопленных частот

Таблица 5 – Расчеты эмпирический и теоретических накопительных частот

i	X	Эмпирически накопленная частота F'	Теоретическая накопленная частота F	F'-F	|F'-F|
		0,075	0,056	0,019	0,019
		0,131	0,111	0,019	0,019
		0,140	0,167	-0,026	0,026
		0,185	0,222	-0,037	0,037
		0,197	0,278	-0,080	0,080
		0,297	0,333	-0,036	0,036
		0,313	0,389	-0,076	0,076
		0,329	0,444	-0,115	0,115
		0,380	0,500	-0,120	0,120
		0,451	0,556	-0,105	0,105
		0,559	0,611	-0,052	0,052
		0,595	0,667	-0,072	0,072
		0,612	0,722	-0,110	0,110
		0,756	0,778	-0,021	0,021
		0,833	0,833	0,000	0,000
		0,875	0,889	-0,014	0,014
		0,963	0,944	0,018	0,018
		0,978	1,000	-0,022	0,022

Max |F'-F|= 1,20

Из таблицы распределения при a =0,1 найдем l =1,22. Для n = 18 критическое значение . Поскольку величина = меньше критического значения 0,288, гипотеза о принадлежности выборки нормальному закону не отвергается.

Построим график накопленных частот (рис. 8). Из графика видно, что эмпирические данные правой части распределения довольно близко расположены к линии нормального распределения.

Таким образом, проверка полученных эмпирических данных на нормальность с помощь расчета асимметрии, эксцесса и графически с использованием критерия Колмогорова-Смирнова дала положительный результат. В целом, с надежностью 98% можно утверждать, что эмпирическое распределение является нормальным.