Экстремумы функции и стационарные точки

Определение 5.5. Функция f () имеет в точке ₀ локальный максимум или минимум, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности будет выполнятся неравенство f ()£( ₀) для максимума и f ()³ f ( ₀) для минимума (5.3).

Экстремум называется сильным, если неравенства (5.3) выполняются как строгие, и слабым, если неравенства (5.3) выполняются как нестрогие. Из определения вытекает, что точки локального экстремума должны быть обязательно внутренними точками области.

Определение 5.6. Функция f () имеет в заданной области G глобальный экстремум, если неравенства (5.3) выполняются для любой точки области ( G).

Глобальный экстремум может достигаться как во внутренней точке (совпадая в этом случае с одним из локальных), так и на границе области.

Задача оптимизации, вообще говоря, не всегда имеет решения. Однако можно выделить широкий класс задач, для которых существование оптимального решения гарантирует следующая теорема.

Теорема 5.2. Непрерывная функция f (), определенная на непустом замкнутом ограниченном множестве достигает глобального максимума (минимума) по крайней мере, в одной из точек этого множества.

Для обеспечения замкнутости все ограничения (5.1) задаются как нестрогие: ³ или £. При этом знаки <, > определяют внутренние, а знаки = граничные точки допустимого множества. Данная теорема дает достаточные условия экстремума. Однако задачи, в которых условия теоремы не выполняются, также могут иметь решения.

Теорема 5.3. Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции f () в точке ₀ является равенство нулю всех частных производных первого порядка в этой точке:

, j =1,2,…, n (5.4)

Определение 5.6. Точки, в которых выполняются равенства (5.4) называются стационарными. Стационарные точки должны быть подвергнуты дополнительным исследованиям с помощью достаточных условий, для того чтобы установить, действительно ли в них достигается локальный экстремум и какой именно.

Так на рис. 5.3. в точке х ₄ условия (5.4) выполняются, но эта точка не является точкой экстремума.