Рассмотрим конечную игру, в которой первый игрок А имеет m стратегий, а второй игрок B-n стратегий. Такая игра называется игрой m×n. Обозначим стратегии A1, А2,..., Аm; и В1, В2,..., Вn. Предположим, что каждая сторона выбрала определенную стратегию: Ai или Bj. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий однозначно определяет исход игры — выигрыш одной из сторон aij. Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий Ai и B является случайной величиной, зависящей от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша, которое также обозначается за aij.
Предположим, что нам известны значения aij при каждой паре стратегий. Эти значения можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют стратегиям Ai, а столбцы — стратегиям Bj.
Тогда, в общем виде матричная игра может быть записана следующей платежной матрицей:
B1 | B2 | ... | Bn | |
A1 | a11 | a12 | ... | a1n |
A2 | a21 | a22 | ... | a2n |
... | ... | ... | ... | ... |
Am | am1 | am2 | ... | amn |
Таблица — Общий вид платежной матрицы матричной игры
|
|
где Ai — названия стратегий игрока 1, Bj — названия стратегий игрока 2, aij — значения выигрышей игрока 1 при выборе им i–й стратегии, а игроком 2 — j-й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.