Упорядоченное множество

Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа.

Пример 1. Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.

Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «()». А=<a₁, a₂,..., a_n>. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками.

Частный случай: кортеж длины 1 — <a>

кортеж длины 0 — < > или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Так, кортеж <a₁, a₂> может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Тогда компоненты a₁, a₂ — проекции вектора на оси 1 и 2.

Пр₁ <a₁, a₂> = a₁, Пр₂ <a₁, a₂> = a₂, Пр_i <a₁, a₂, a₃>= a_i, Пр₁2 <a₁, a₂, a₃>= <a₁, a₂> — двухэлементный кортеж. Проекция кортежа на пустое множество осей — пустой кортеж.

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a₁,..., a_n) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Пр_i a = a_i, i=1,2,...,n

Пр_i,j,...,l a = <a_i, a_j,..., a_l>, i=1,2,...,n

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

<a₁,..., a_m> = <b₁,..., b_n> ⇔ m = n и a₁ = b₁, b₁ = b₂,...

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

A = < <a₁, a₂>, <a₁, a₃>, <a₂, a₃> >