2015-05-05
3263
Способы измерения площадей. Нахождение площадей прямоугольника, параллелограмма, ромба, треугольника, трапеции, круга. Площадь многоугольника. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение. Равновеликие и равносоставленные фигуры.
Площадь фигуры и её измерение.
Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.
Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F, (рис.4), составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:
I/ равные фигуры имеют равные площади;
2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, тоеёплощадь равна сумме их площадей. Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина – на множестве отрезков, а площадь – на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e. Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m.
Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=x e.Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади.
Так, если единицей площади является см, то площадь фигуры, приведённой на рисунке 5, равна 5см.
Рассмотрим один из приёмов, опирающихся непосредственно на определение площади, является измерение площади при помощи палетки- сетки квадратов, нанесённый на прозрачный материал.
Допустим, на фигуру F. площадь которой надо измерить, наложена сетка квадратов со стороной e. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить квадраты двух видов:
1/ квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F.
2/ квадраты, через которые проходит контур фигуры, и которые лежат частью вне фигуры F.
Пусть квадратов первого вида окажется m, а квадратов второго вида n. Тогда, очевидно, площадь фигуры F будет удовлетворять условию.
m <S(F)<(m+n). Числа m и m+n будут приближёнными численными значениями измеряемой площади: первое число с недостатком, второе – с избытком.
Как видим, что палетка позволяет измерить площадь фигуры лишь с невысокой точностью. Чтобы получить более точный результат, можно уплотнить первоначальную сеть квадратов, разделив каждый из них на более мелкие квадраты. Можно, например, построить сеть квадратов со стороной e =1/10e.
В результате мы с большой точностью получим другие приближенные значения площади фигуры F.
Описанный процесс можно продолжить. Возникает вопрос: существует ли такое действительное число, которое больше всякого приближённого результата измерения, взятого с избытком, и которое может быть точным численным значением измеряемой площади? В математике доказано, что при выбранной единице площади такое число существует для всякой площади, оно единственно и удовлетворяет свойствам 1 и 2.
