Пусть функция непрерывна на отрезке .
Функция любая из первообразных функции .
Тогда .
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной функции . Поскольку также является первообразной и две различные первообразные отличаются только на константу, то . (1)
Найдем костанту С. Положим в последнем равенстве :
. Отсюда находим значение константы . Подставив его в равенство (1), получаем
.
Полагая в этом равенстве , получаем искомую формулу .
7.2. Правило интегрирования по частям в определённом интеграле.
Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда справедлива формула интегрирования по частям
.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Обозначим через
Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем
.
Пример 2. Вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла
.
Обозначим через
Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем
.
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , сводим вычисление данного интеграла к таким же интегралам меньшего порядка
|
|
Отсюда находим рекуррентную формулу для вычисления искомого
интеграла .
Начальные значения интегралов для этой формулы
Пример 3. Вычислить интегралы
Применим рекуррентную формулу, выведенную в примере 2, при :
.
Учитывая, что , получаем .
Применим рекуррентную формулу, выведенную в примере 2, при :
.
Учитывая, что , получаем .
7.3. Замена переменной в определённом интеграле.
Пусть функция определена и непрерывна на отрезке .
Функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем , , . Тогда справедлива формула замены переменной
, где .
Пример 1. Вычислить интеграл .
Первый способ. Перепишем подынтегральную функцию в виде
.
Этот интеграл является интегралом от дифференциального бинома
. В данном примере .
Число не является целым; число также не является целым;
число целое. Значит, исходя из общей теории, подходит подстановка .
Возводим в квадрат и выражаем подынтегральные выражения
Пересчитаем пределы интегрирования из формулы :
при ; при .
Подставляя эти выражения в первоначальный интеграл, получаем
Второй способ. В этом интеграле можно избавиться от иррациональности с помощью тригонометрической подстановки. Сделаем замену
Пересчитаем пределы интегрирования. Если , то ;
если , то . Подставляя эти значения в интеграл, получаем
.
Сделаем еще одну замену переменной .
Если , то ; если , то . Тогда
Отметим два основных отличия замены переменной в определённом интеграле от замены переменной в неопределённом интеграле:
|
|
1) надо пересчитывать пределы интегрирования;
2) не нужно возвращаться к старой переменной.
Следующий пример показывает, что формальное применение формулы замены переменной, без учета условий ее применимости, может привести к неверному результату.
Пример 2. Интеграл . Сделаем в этом интеграле замену . Тогда . Получили противоречие, так как один и тот же интеграл не может принимать два разных значения.
Это произошло потому, что при изменении переменной
новая переменная изменяется на лучах . А согласно теореме о замене переменной она должна изменяться на отрезке .
При замене переменной определенный интеграл Римана может перейти в несобственный интеграл и наоборот. Поэтому введем понятие несобственного интеграла. Позднее этот интеграл будет изучаться более подробно.
7.4. Несобственный интеграл
Интеграл Римана рассматривается от ограниченной функции на отрезке. Этот интеграл можно обобщить в двух направлениях: сделать неограниченным промежуток или функцию неограниченной.
Несобственный интеграл первого рода – это интеграл по неограниченому промежутку. Пусть функция интегрируема по Риману в собственном смысле на любом отрезке при всяком значении . Несобственным интегралом от функции по лучу называется следующий предел от определенного интеграла
.
Возможны следующие случаи. Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если же предел равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Пример 1. Исследовать на сходимость в зависимости от параметра несобственный интеграл .
Рассмотрим сначала случай, когда .Тогда
.
В этом случае интеграл расходится.
Пусть теперь . Тогда
Итак, сходится при и расходится при .
Это важный интеграл, он широко используется при исследовании на сходимость других несобственных интегралов, а также в теории рядов.
Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Запишем несобственный интеграл по определению
.
Полученный предел не существует, следовательно, интеграл расходится.