Теорема. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы
. (1)
Условие (1) означает, что для любого найдется такое , что для любого разбиения такого, что .
Необходимость. Пусть ограниченная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке и пусть
.
Тогда для любого найдется такое , что если , то
.
Отсюда согласно свойству 4 интегральных сумм, получим
.
Таким образом, если , то , а это означает выполнение условия (1).
Достаточность. Пусть функция ограничена и имеет место (1). Из свойства 5 имеем , поэтому .
Обозначая их общее значение через , то есть , получим
.
Отсюда следует и, в силу свойства 1 .
Это и означает интегрируемость функции .
Функция, непрерывная на , интегрируема на этом промежутке.
В дальнейшем понятие определенного интеграла будет расширено на неограниченные функции и на бесконечный промежуток.