Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:
. (4)
Доказательство
Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем
,
откуда
.
Пример 6. Вычислить .
Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим
.
Пример 7. Вычислить .
Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Пример 8. Вычислить .
Решение. Полагая , определяем . Следовательно:
[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = =
.
Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы