Теплопроводность при нестационарном режиме

Нестационарная теплопроводность характеризуется изменением температурного поля тела во времени и связана с изменением энтальпии тела при его нагреве или охлаждении. Безразмерная температура тела θ определяется с помощью числа Био Вi = аl/λ, числа Фурье Fo = aτ/l² и безразмерной координаты, обозначаемой для пластины, X = x/δ, а для цилиндра R = r/r_o. Охлаждение (нагревание) тел поисхо­дит в среде с постоянной температурой t_ж, при постоянном коэффи­циенте теплоотдачи α; λ и а - теплопроводность и температуропровод­ность материала тела, l - характерный размер тела (l = δ для пла­стины, l=r₀ для цилиндра), х и r - текущие координаты соответствен­но для пластины и цилиндра.

4.1. Тепа с одномерным температурным полем.

Пластина толщиной 2δ. Безразмерная температура пластины

(4.1)

где t - температура в пластине для момента времени т в точке с координатой х; t₀ - температура пластины в начальный момент времени.

Если Fo ≥ 0,3 то температура на поверхности пластины (Х=1)

(4.2)

температура на середине толщины пластины (Х=0)

(4.3)

температура внутри пластины на расстоянии х от ее средней плоскости

(4.4)

где P, N, μ₁, μ₁² определяются по табл. 5 приложения для пластины в зависимости от числа Bi.

Температура и можно определить по графикам рис. П.1 и П.2 по известным числам Bi и Fo.

Цилиндр радиусом r₀. Безразмерная температура цилиндра

(4.5)

где t - искомая температура в цилиндре для радиуса r_х и времени τ,

0≥ r_х ≤ r

Если Fo ≥ 0,3 то температура на поверхности пластины (R=1)

(4.6)

температура на оси цилиндра (R=0)

(4.7)

температура внутри цилиндра для радиуса r_х

(4.8)

где P₀, N₀, μ₁, μ₁² определяются по табл. 6 приложения для цилиндра в зависимости от числа Bi; - функция Бесселя первого рода нулевого порядка (табл. 19 приложения).

Температуры и можно определить по графикам рис. П.З и П. 4 Приложения по известным числам Bi и Fo

4.2. Тела конечных размеров.

Температура определяется на основе теоремы о перемножении ре­шений: безразмерная температура тела конечных размеров при нагре­вании (охлаждении) равна произведению безразмерных температур тел с бесконечным размером, при пересечении которых образовано данное конечное тело.

Цилиндр длиной 2δ и радиусом r₀ (рис. 4.1). Он образован пересечением бесконечной пластины толщиной 2δ и бесконечного цилиндра радиусом r₀.

Безразмерная температуры стержня

равна

(4.9)

где (или функция Ф₁) при Fo ≥ 0,3 определяется по формулам (4.1) - (4.3) и графикам рис. П.1 и П.2 приложения для бесконечной пластины толщиной 2δ; (или функция Ф₂) при Fo ≥ 0,3 определяется по формулам (4.5) - (4.7) и графикам рис. П.З и П.4 приложения для бесконечного цилиндрического стержня радиусом r₀.

При Fo ≥ 0,3 безразмерная температура внутри цилиндрического стержня в точке с координатами х и r_х будет определяться аналогич­но, но рассчитывается по формуле (4.4), a - по формуле (4.8) с использованием табл. 5 и 6 приложения.

Параллелепипед со сторонами 2δ_x, 2δ_y, 2δ_z (рис. 4.2). Безразмерная температура равна

(4.10)

Функции f₁, f₂, р₃ определяются по формулам (4.1) - (4.4), по табл. 5 и по графикам рис. П.1 и П.2 приложения для бесконечной пластины с учетом места расположения интересующей нас точки в параллелепипеде.

4.З. Расчет отданной (воспринятой) телом теплоты

Количество теплоты Q_τ, Дж, отданной (воспринятой) телом за время т в процессе охлаждения (нагревания), равно

(4.11)

где - количество теплоты, переданной за время полного охлажде­ния (нагревания), Дж; - средняя по объему безразмерная темпера­тура тела в момент времени τ.

Для пластины толщиной 2δ и площадью поверхности F теплота, переданная за время полного охлаждения, равна

(4.12)

где m - масса пластины, кг; с - теплоемкость материала пластины, Дж/(кг*К); ρ - его плотность, кг/м³.

Средняя по объему безразмерная температура пластины в момент времени т при Fo≥0,3

(4.13)

Для цилиндра радиусом r₀ и длиной l теплота, отданная за время полного охлаждения, равна

(4.14)

Средняя по объему безразмерная температура цилиндра в момент времени т при Fo≥0,3равна

(4.15)

Средняя безразмерная температура цилиндра конечной длины

(4.16)

где функция определяется по формуле (4.13), - по (4.15).

Для параллелепипеда со сторонами 26_x, 2δ_y, 2δ_z (рис. 4.2) тепло­та, отданная за время полного охлаждения, равна

(4.17)

Средняя безразмерная температура параллелепипеда

(4.18)

где функции , , ,определяются по формуле (4.13).

Если Fo<0,3, то для вычисления используется ряд, члены кото­рого определяются формулами типа (4.13), (4.15), причем величины μ₁ μ₂ … μ_n определяются по таблицам, приведенным, например. в [12].

4.4. Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел

Теорию регулярного режима разработал Г. М. Кондратьев. Процесс охлаждения тел в среде с постоянной температурой и постоянным коэффициентом теплоотдачи α можно разделить на три режима:

1) Непорядочный – на процесс влияет начального распределение температуры к телу.

2) Регулярный – в любой точке тела относительная скорость изменения температуры, называемая темпом охлаждения (нагревания), остается постоянной и не зависит от времени.

3) Стационарный – температура во всех точках тела равна температуре среды (тепловое равновесие).

В регулярном режиме темп охлаждения (нагревания), m, c^-1, определены по двум моментам времени τ₁ и τ₂ равен:

(4.19.)

где и - избыточная температура в момент времени τ₁ и τ₂.

Темп охлаждения m зависит от физических свойств тела, его размеров и форм, коэффициента теплоотдачи и не зависит от времени и координат.

Первая теорема Г. М. Кондратьева для регулярного режима выражается формулой

(4.20)

Где F и V площадь поверхности и объем тела, - коэффициент неравномерности распределения температуры в теле, определяется следующим образам:

(4.21)

Где - модификация формы числа Bi; К – коэффициент формы тела, м²

Коэффициент зависит от условий процесса на поверхности тела: при Bi > 100 = 0 (температура поверхности тела равна температуре среды).

Вторая теорема Г. М. Кондратьева: при высокой интенсивности теплоотдачи темп охлаждения пропорционален коэффициенту температуропроводности материала тела а м²/с.

(4.22)

Коэффициент формы К различных тел:

Для шара радиусом r₀

(4.23)

Для цилиндра длинной l и радиусом r₀

(4.24)

Для параллелепипеда со сторонами a, b, c

(4.25)

4.5. Задачи

4.1. Вермикулитовая плита толщиной 30 мм, имеющая начальную
температуру 150°С, охлаждается в среде, температура которой постоянна и равна 10°С. Найти температуры в середине толщины пли­
ты, на ее поверхности и на расстоянии 5 мм от поверхности через 0,5
и 1 ч после начала охлаждения. Припять коэффициент температуропроводности 8,2*10^-8 м²/с и коэффициент теплоотдачи 60 Вт/(м²*К). Построить график распределения температур в плите.

4.2.Стальной лист толщиной 30 мм [теплоемкость 0,42 кДж/(кг*К),
плотность 7900 кг/м³] нагрет до 400 °С и охлаждается в воздухе
с температурой 10°С при коэффициенте теплоотдачи 20 Вт/(м²*К). Через сколько часов температура листа на поверхности будет на 11 °С
отличаться от температуры воздуха? Сколько теплоты будет отдано с 1 м² листа за время охлаждения?

4.3.Стенка камеры сгорания толщиной 5 мм в начальный момент имеет температуру 20 °С. Затем с одной стороны (другая поверхность стенки теплоизолирована) стенка стала омываться потоком газа с тем­пературой 2000 °С и коэффициентом теплоотдачи 700 Вт/(м²*К). Счи­тая тепловой поток нормальным к стенке, найти температуры на обеих поверхностях стенки через 20 и 60 с после начала обогрева стенки. Принять для материала стенки теплопроводность 0,35 Вт/(м*К), теп­лоемкость 1,47 кДж/(кг*К), плотность 1400 кг/м³. Лучистый тепло­ обмен не учитывать.

4.4.Колонна радиусом 0,15 м из бетона с начальной температурой
30 °С охлаждается в воздухе с постоянной температурой —20 °С, коэффициент теплоотдачи равен 4,3 Вт/(м²*К). Найти температуры на
поверхности, на оси колонны и на радиусе 10 см через 6 и 12 ч после
начала охлаждения. Принять для бетона плотность 1700 кг/м³, теплоемкость 0,7 кДж/(кг*К). Определить количество теплоты, которая бу­дет отдана воздуху 1 м длины колонны за 6 ч процесса охлаждения.

4.5.Труба с водой находится в среде с температурой 13,3 °С. Вне­запно температура среды понижается до - 20 °С. Подсчитать, через сколько времени вода в трубе начнет замерзать, если диаметр трубы 400X20 мм; теплопроводность материала трубы 100 Вт/(м*К), удель­ная теплоемкость 0,5 кДж/(кг*К) и плотность 8900 кг/м³. Коэффициент теплоотдачи от трубы к среде 50 Вт/(м²*К). Условно рассмот­реть как случай бесконечного сплошного цилиндра при Fo>0,3.

4.6.Вал диаметром 0,21 м и длиной 0,36 м первоначально имеет температуру 20 °С и нагревается в печи, где температура 900 °С, а коэффициент теплоотдачи 134 Вт/(м²*К). Теплоемкость материала вала
0,4 кДж(/кг*К), плотность 6500 кг/м³, теплопроводность 20 Вт/(м*К).
Найти с помощью графиков температуру через 1,2 ч после начала на­грева: а) в центре торца вала, б) в центре вала, в) на поверхности вала в середине его длины, г) на окружности торца. Определить ко­личество теплоты, которая будет передана валу в печи за время на­грева.

4.7.По условию задачи 4.6. найти температуры в центре вала и на окружности торца, если увеличить диаметр и длину вала в 2 раза, оставив все другие условия без изменения.

4.8.Вал диаметром 140 мм с температурой 27 °С поместили в на­греватель, где температура постоянна и равна 860 °С. Процесс нагрева длился до получения на поверхности вала температуры 520 °С. Найти время нагрева и температуру на оси вала, если теплопроводность ма­териала вала 38 Вт/(м*К), температуропроводность 6,94*10^-6 м²/с,
а коэффициент теплоотдачи 163 Вт/(м²*К).

4.9.Для детали цилиндрической формы найти температуру в точ­ках с координатами: а) r=0, х=0; б) r=0, х=6; в) r=r₀, х=0; г) r=r₀, х = δ через 40 мин после начала нагрева ее в печи, где газы имеют температуру 640 °С и коэффициент теплоотдачи 138 Вт/(м²*К). Диа­метр детали 0,24 м, длина 0,4 м, начальная температура 15 °С. Мате­риал детали имеет теплоемкость 0,32 кДж/(кг*К), плотность 6000 кг/м³, теплопроводность 23 Вт/(м* К).

4.10.Брусок металла размером 400X600X700 мм с начальной тем­пературой 30 °С [теплопроводность 35 Вт/ (м*К), коэффициент температуропроводности 6,25*10^-6 м²/с] разогревается в печи, где темпера­
тура 1200 °С и коэффициент теплоотдачи 175 Вт/(м²*К). Найти температуру в центре бруска через 2 ч после начала нагрева. Каковы при этом будут температуры в центре каждой грани?

4.11.В экспериментальной установке для определения коэффициен­та температуропроводности сыпучего материала методом регулярного режима материал находится в цилиндрическом калориметре диаметром 50 мм и высотой 70 мм. Разность температур между материалом и охлаждающей жидкостью . Охлаждение в термостате на­ гретого калориметра с материалом дало следующие результаты (Bi>100).

Время, мин.
, °С

Определить коэффициент температуропроводности материал?

4.12. На основе метода регулярного режима необходимо опреде­лить теплопроводность некоторого материала. Из этого материала изго­товили калориметр в виде шара диаметром 120 мм с полной тепло­емкостью 28,5 Дж/К, охлаждение которого в термостате с высоким коэффициентом теплоотдачи (Bi>100) показало следующие результаты ( - разность температур между калориметром и охлаждающей средой):

Время, с.
,°С	61,5	59,7	54,6	47,6	42,1	36,6	32,1	27,9	24,5	21,5

Найти коэффициент теплопроводности материала.

Глава пятая