Броуновское движение: , пусть
Процесс с нез. приращениями: ,
1)
2)
Пусть $ поток s-алгебры : " t - -измеримо
Независимость приращений вперед: для " - - не зависим от
Опишем класс подынтегральных функций, для которых Ито строил интегралы:
1) , - -измерим (т.е. согласованность с потоком)
2)
Речь идет о пространствах - квадрат нормы по мере произведения (вероятностная мера ´ мера Лебега).
Интеграл должен отвечать требованиям:
1) линейность:
2)
3) 1.
2. - изометрия, совпадение норм
Разобъем [0,T] на интервалы: и определим ступенчатые функции:
- при этом - -измерима
Будем аппроксимировать только в левом конце.
ОПР: Стохастический интеграл для ступенч. функций:
Лемма: для " f Î $ последовательность ступ.функций Î :
т.е. $ последовательность ступ.функций, которые аппроксимируют f.
Для " аппр.посл-ти предел будет один и тот же. Этот предел I (Т) называется стохастическим интегралом подынтегральной функции Î :