2015-05-05
711
Пусть L – подпространство евклидового или унитарного пространства V. Тогда " x Î V $ x 0Î L Ù $ x ^Î L ^ (причем единственные), такие что x = x 0 + x ^, x 0 – называется ортогональной проекцией вектора х на подпространство L. x ^ – называется ортогональной составляющей вектора х на подпространство L. Расстоянием между двумя множествами M 1 и M 2 называется кратчайшее из расстояний между элементами M 1 и M 2:
r(M 1, M 2) = 
.
В частности r(x, M) = 
; r2(x, y) = | x – y |2 = 
= | x – x 0|2 + | x 0 – y |2 ³ ³ | x – x 0 |2 = | x ^ |2, где y Î L, т.е. расстоянием между вектором и подпространством является длина его ортогональной составляющей. Для евклидового пространства углом между вектором х и подпространством L называется угол jÎ[0, p] такой, что 
.
Преобразовав 
, получим, что косинус угла между подпространством и вектором равен отношению длины ортогональной составляющей вектора к длине самого вектора.
Рассмотрим 
– ортогональный базис в подпространстве L:
" x Î V x = x 0 + x ^ = a1 e 1 + a1 e 1 + … + a kek + x ^.
Умножим скалярно обе части равенства на ei:
|
|
|
, т.е.
– это формулы для нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора х на подпространство L.
