Преобразования, не изменяющие ранг матрицы

Следующие преобразования не изменяют ранг матрицы:

1) Транспонирование. ◀ При транспонировании определитель не меняется и поэтому, минорам равным нулю будет поставлено в соответствии миноры, равные нулю, а минорам не равным нулю будут соответствовать миноры, не равные нулю (0 «0 и ù 0 «ù 0). ▶

2) Перестановка двух строк (столбцов). ◀ Любой минор – это полилинейный антисимметричный функционал j(а ₁, а ₂, …, a_k, …, a_j, …, a_r) = – j(а ₁, а ₂, …, a_k, …, a_j, …, a_r).

Отсюда ясно, что 0 «0 и ù 0 «ù 0. ▶

3) Умножение всех элементов строки (столбца) на число C ≠ 0.

◀ j(a ₁, a ₂,…, ca_k, …, a_r) = c j(a ₁, a ₂,…, a_k , …, a_r) Þ 0 «0 и ù 0 «ù 0. ▶

4) Прибавление ко всем элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца). ◀ Не ограничивая общности, можно считать, что к элементам 1^й строки прибавляются элементы 2^й строки

j(a ₁ + a ₂, a ₂, a ₃ ,…, a_r) = j(a ₁, a ₂,…, a_r) + j(a ₁ a ₂, a ₃,…, a_r) = j(a ₁, a ₂,…, a_r). ▶

5) Вычеркивание нулевой строки (столбца). ◀ Включение в систему векторов нулевого вектора или выбрасывание нулевого вектора не изменяет dimℒ(a ₁, a ₂,…, a_r). ▶

6) Вычеркивание строки (столбца), являющейся линейной комбинацией остальных.

◀ Достаточно воспользоваться свойствами 3), 4) и 5). ▶