Еще о свойствах эрмитового оператора

Т°. Чтобы линейный оператор А Î L (V, V) был эрмитов необходимо и достаточно,

чтобы Im(Ax, x) = 0.

◀ Прежде всего, отметим, что " А Î L (V, V) $ A_R, A_I Î L (V, V) такие что A = A_R + iA_I и, кроме того А_R и А_I – эрмитовы. Следовательно, (A_Rx, x)Î R и (A_Ix, x)Î R, т.е. (Ax, x) = = .

Теперь:

Необходимость. Пусть А = А ^* Þ (Ах, х)Î R Þ Im(Ах, х) = 0.

Достаточность. Пусть Im(Ах, х) = 0 Þ (A_Ix, x) = 0 Þ Þ || A_I || = 0 Þ A_I = 0 Þ

Þ A = A_R Þ A_R – эрмитов ▶

Т°. Если А – эрмитов оператор и λ – его собственное значение, то $ х Î V, || х || = 1, и

l = (Ах, х).

◀ Пусть z - собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению λ:

Аz =λ z Þ = (Ах, х),

где х – собственный вектор и || х || = 1 ▶

Следствие: Пусть А – эрмитов оператор и m = . Тогда для собственных значений λ оператора А справедливо m £ l £ M.

Т°. Если А – самосопряженный (эрмитов) оператор и " x Î V; (Ax, x) ³ 0, то

|| A || = l_max

◀ . Обозначим l = (Ax ₀, x ₀) = || A ||. Рассмотрим

||(A – l Е) х ₀||² = (Ax ₀ – l x ₀, Ax ₀ – l x ₀) = (Ax ₀, Ax ₀) – l(х ₀, Ах ₀) – (Ax ₀, x ₀) + l (х ₀, х ₀) =

= = (Ax ₀, Ax ₀) – l(Ах ₀, х ₀) – l(Ах ₀, х ₀) + l²(х ₀, х ₀) = =

= || Aх ₀||² – 2|| A ||² + || A ||² = 0, т.е. ||(A – l Е) х ₀|| = 0 Þ (A – l Е) х ₀ = 0 Þ Aх ₀ = l х ₀, т.е. l – собственное значение ▶

Продолжаем изучение спектральных свойств эрмитовых операторов.

Т°. Пусть для эрмитового оператора А m = ; тогда m и

М – наименьшее и наибольшее собственное значение оператора А.

◀ Достаточно доказать, что m и М – собственные значения оператора А.

1) Рассмотрим оператор B = A – mE Þ В – эрмитов Þ (Вх, х) = (А (х), х) – m (х, х) ³ 0. Т.е. В – эрмитов, (Bx, x) ³ 0 Þ || B || = l_max, но , т.е. для В: l_max = M – m Þ $ x ₀ Bx ₀ = (M – m) x ₀ Þ (A – mE) x ₀ = Mx ₀ – mx ₀ Þ Ax ₀ – mx ₀ = = Mx ₀ – mx ₀ Þ Ax ₀ = mx ₀ Þ Mx ₀ – собственное значение оператора А.

2) Рассмотрим В = – А Þ В – эрмитов. Þ Þ – m – собственное значение В

Þ $ х Вх = – m Þ – Ах = – mх Þ Ах = mх, т.е. m – собственные значения А ▶

Тº (о собственном базисе эрмитового оператора). Если А – эрмитов оператор: А Î L (V, V) в n -мерном унитарном пространстве, то в V существует n -линейно-независимых, попарно ортогональных и единичных собственных векторах.

◀ 1) А – эрмитов, А Î L (V, V) = l_max = l₁ = и $ е ₁ – единичный собственный вектор с собственным значениям l₁: Ае ₁ = l₁ е ₁. Обозначим V ₁ = ℒ^{^}(е ₁). При этом V = V ₁ Å ℒ(е ₁). Оказывается V ₁ – инвариантно относительно А. В самом деле

" х Î V ₁: (Ах, е ₁) = (х, Ае ₁) = l₁(х, е ₁) 0, т.е. (Ах, е ₁) = 0 Þ .

2) Теперь можем рассмотреть А в V ₁: А Î L (V ₁, V ₁), А – эрмитов Þ l_max = l₂ =

и $ е ₂ – единичный вектор, такой, что Ае ₂ = l₂ е ₂ и е ₂ ^ е ₁.

Рассмотрим V ₂ = ℒ^{^}(е ₁, е ₂). Тогда V = V ₁ Å ℒ(е ₁), V ₂ – инвариантно относительно А.

" х Î V ₂: (Ах,a₁ е ₁+a₂ е ₂) = (х, А (a₁ е ₁) + А (a₂ е ₂)) = 0,

Ах ^a₁ е ₁ +a₂ е ₂ Þ " х Î V ₂.

3) …

4) …

Итак, $ e ₁, …, e_n - единичные, взаимно ортогональные и собственные векторы,

т.е. в V существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора А ▶

Примечание: Договоримся, в дальнейшем, нумеровать собственные значения в порядке их убывания с учетом кратности, т.е. l₁ ³ l₂ ³ … ³ l _n и соответствующие им векторы е ₁, е ₂, …, е_n обладают свойством (e_i, e_j) = d _ij.

Примечание: Из доказанной выше теоремы следует: , или , где Е_m = ℒ(е ₁, е ₂, …, е_m).

Т° (минимаксное свойство собственных значений). Пусть А – эрмитов оператор и l₁ ³ l₂ ³ … ³ l _n его собственные значения, тогда где ℇ _m –множество всех m -мерных подпространств пространства V.

Доказать cамостоятельно.