Общие замечания и напоминания

Def: Оператор А, действующий в вещественном линейном пространстве называется линейным, если " x, y Î V, "aÎ R

1) A (x + y) = Ax + Ay

2) A (a x) = a A (x)

Def: Вектор x Î V, x ¹ 0 называется собственным вектором оператора А, если $aÎ R такое, что Ax = a x и a при этом называется собственным значением оператора А.

1°. Собственные значения оператора А являются корнями характеристического уравнения det(A – l Е) = 0. Наоборот, вообще говоря, неверно. Корень характеристического уравнения является собственным значением оператора А только в случае, когда этот корень вещественен.

Def: Оператор А ^* называется сопряженным к оператору А, если " х, y Î V, (Ax, y) = (x, A ^* y).

2°. Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный оператор, который также является линейным.

При доказательстве этой теоремы в комплексном пространстве используется понятие полуторалинейной формы. В вещественном пространстве используется понятие билинейной формы.

Def: Функция В (x, y) называется билинейной формой в V, если " x, y Î V, "a, bÎ R:

1) B (a₁ x ₁ + a₂ x ₂, y) = a₁ B (x ₁, y) + a₂ B (x ₂, y)

2) B (x, b₁ y + b₂ y ₂) = b₁ B (x, y ₁) + b₂ B (x, y ₂)

3°. Для любой билинейной формы В (x, y) существует линейный оператор А такой, что В (x, y) = (Ax, y).

Aналогом эрмитовых форм в вещественном пространстве служат симметричные билинейные формы.

Def: Билинейная форма В (x, y) называется симметричной, если B (x, y) = B (y, x). Билинейная форма В (x, y) называется кососимметричной, если B (x, y) = - B (y, x).

4°. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососиметричной билинейной формы.

5°. Для того, чтобы билинейная форма B (x, y), заданная в вещественном евклидовом пространстве V, была симметричной необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении B (x, y) = (Ax, y) был самосопряженным.

Т°. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного

оператора А в евклидовом пространстве – вещественны.

◀ Пусть l = a + b i – корень характеристического уравнения det(A – l E) = 0. Пусть (a_ik) – элементы матрицы оператора в некотором базисе { e_ik }, (a_ik Î R). Будем искать решение системы , где l = a + b i. Система имеет решение i =1, 2, 3, …, n, ибо определитель системы равен 0. Пусть решение , k = 1, 2, 3, …, n. Подставляя в систему и приравнивая вещественные и мнимые части выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, имеем: ,

, или в векторном виде .

Умножим скалярно первое уравнение на y, а второе на x:

.

Учитывая, что (Ax, y) = (x, Ay) (ведь А – самосопряженный) имеем

a(x, y) – b(y, y) = a(x, y) + b(x, x), т.е. b((x, x) + (y, y)) = 0 Þ b = 0, т.е. l = aÎR ▶

6°. У каждого линейного самосопряженного оператора А в n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.

7°. В базисе из нормированных ортогональных собственных векторов матрица линейного самосопряженного оператора А имеет диагональный вид и по диагонали стоят собственные значения.

8°. В произвольном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора будет симметричной (А^Т = А). Верно и обратное. Этим вещественный случай отличается от комплексного: в комплексном случае оператор А является эрмитовым, когда матрица этого оператора эрмитова (т.е. ).