Дисконтирование аннуитета постнумерандо

Операция дисконтирования выполняется для определения современной величины аннуитета постнумерандо (A) (рисунок 7.4).

R R R R

t =0 1 2 3 t= 4= n t

Рисунок 10.4 – Схема определения современной стоимости аннуитета постнумерандо

Современная стоимость аннуитета постнумерандо А равна сумме текущих стоимостей всех поступлений , другими словами, она представляет собой приведенную к началу периода (нулевому моменту времени) стоимость элементов данного ДП.

Современная стоимость каждого отдельного элемента аннуитета постнумерандо определяется зависимостью

. (10.10)

Следовательно, современная сумма всей ренты в нулевой момент будет равна:

. (10.11)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b ₁ = Rv, знаменатель q = v, число членов равно n. По формуле (7.1) находим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

. (10.12)

Множитель, на который умножается R, называется множителем приведения ренты и обозначается

. (10.13)

Экономический смысл множителя a_{n ; i} заключается в том, что он показывает современную стоимость постоянной ренты постнумерандо размером в одну денежную единицу. Из формул (10.11), (10.12) видно, что

. (10.14)

Тогда современная стоимость аннуитета постнумерандо определяется по формуле

. (10.15)

Для последовательных интервалов времени, когда общий срок определяется как n = n ₁ + n ₂, множитель приведения ренты равен

. (10.16)

Для аннуитета с начислением процентов m раз в году

. (10.17)

Пример 10.2. Транспортное предприятие приобретает автобус за 500 тыс.руб., предполагая использовать его в течение 10 лет, прогнозируя 100 тыс.руб. дохода ежегодно в течение первых 5 лет эксплуатации и 90 тыс.руб. в течение последующих 5 лет эксплуатации. Определить современную стоимость доходов, если ставка дисконта равна 10% годовых.

Решение

В данном примере имеем две постоянные ренты постнумерандо.

Определим по формуле (10.13) множитель приведения ренты

.

Характеристика 1-й ренты: n = 5; R = 100; a _5;10%=3,79079. Тогда современная стоимость 1-й ренты:

100·3,79079= 379,079 руб.

Характеристика 2-й ренты, для которой нулевым моментом является конец 5-го года: n = 5; R = 90; a _5;10%=3,79079. Тогда современная стоимость 1-й ренты:

90·3,79079·(1+0,1)⁵= 211,840 руб.

Современная стоимость доходов равна

379,079 + 211,840 = 590,919 руб.

Пример 10.3. Предприятие прогнозирует, что новая продукция будет давать в среднем 10 000 руб. дохода ежегодно в течение трех лет эксплуатации. Необходимо определить современную стоимость доходов если ставка дисконта 20% годовых при ежегодной капитализации доходов.

Решение

Определим по формуле (10.13) множитель приведения ренты

Характеристика ренты: n = 3; R = 10 тыс. руб.; a_{3 ;20%}=2,1065. Тогда современная стоимость ренты:

10 000·2,1065= 21065 руб.

Наращение срочного аннуитета пренумерандо

R R R R

t =0 1 2 3 t= 4= n t

Рисунок 10.5 – Схема определения будущей стоимости аннуитета пренумерандо

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо определяется по формуле:

(10.18)