Кинематическими уравнения движения материальной точки

Поступательное движение —это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.

Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Абсолютно твердое тело - это тело,которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Движение характеризуется траекторией, длиной пути, вектором перемещения, скоростью и ускорением.

Траектория - линия, которую описывает при своем движении материальная точка(прямолинейные, криволинейные)

Путь (S)- расстояние отсчитанное вдоль траектории(скалярная величина) D s = D s(t).

Перемещение – приращение радиус-вектора за единицу времени. D r = r — r ₀,

Скорость- векторная величинакоторой определяется как быстрота движения, так и его направ­ление в данный момент времени.

∆t→0

Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения Dr радиу­са-вектора точки к промежутку времени D t: V_ср = При неограниченном уменьшении D t средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью V V = lim =

∆t→0

∆t→0

Мгновенная скорость есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. При уменьшении D t, DS (DS - скаляр) приближается к | ∆ r | (рис. 1.1) и модуль мгновенной скорости V = | V |= lim = lim =

Отсюда модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

Вектор мгновенной скорости можно разложить на три составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат:

V_x =; V_y =; V_z =

При этом модуль мгновенной скорости.

V = | V | =

2 Ускорение -физическая величина, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + D t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Dv к интервалу вре­мени

Мгновенное ускорение движения определяется как предел, к которому стремится среднее ускорение а_ср = при Dt®0, т.е.

a = lim = = (1.4)

Разложение ускорения точки на составляющие по осям прямоугольной системы координат имеет вид: , ,

а модуль ускорения .

Полное ускорение a имеет две составляющие, перпендикулярные между собой (рис. 1.2) а_t и a_n. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (a _t),

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

а нормальное (центростремительное) по направлению (a_n). При прямолинейном движении а_n = 0. Из рис. 1.2.

V

рис. 1.2

(1.5)

a

an

Рассмотрим составляющие ускорения подробнее и получим их формулы. Пусть V скорость точки А, а через время Dt она изменится до V₂ (точка B).

Перенесем параллельно V₂ в точку A (рис.1.3) и, отложив на нем V_{1 ,}получим подобные треугольники ACD и ABC. При этом DS»AB, а R -радиус кривизны траектории. Из подобия треугольников:

; Следовательно , отсюда

, отсюда (1.7)

В скалярной форме (1.7^/)

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движе­ние можно классифицировать следующим образом:

1) , а_n = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) , а_n = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t ₁=0, а начальная скорость v ₁ =v ₀, то, обозначив t ₂ =t и v ₂ =v, получим , откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) , а_n = 0— прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , а_n = const. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a_n=v ² /r следует, что радиус кривизны должен быть посто­янным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) , — равномерное криволинейное движение;

6) , — криволинейное равнопеременное движение;

7) , — криволинейное движение с переменным ускорением.

1. Характеристики вращательного движения.

а) Угловая скорость .

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью «омега», которая равна производной от угла поворота тела по времени

, (16)

- угол поворота тела за малое время .

При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов и периодом вращения . Частота оборотов равна числу оборотов, сделанных за единицу времени,

, (17)

- число оборотов за время . Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2 , то и

. (18)

Период вращения - это время, за которое тело совершает один оборот. Т.к.

,

то . (19)

рад/с, об/с, с.

б) Угловое ускорение .

Угловое ускорение «эпсилон» равно производной от угловой скорости по времени ,

, (20)

- изменение угловой скорости за время . .

Векторы и направлены по оси вращения тела; вектор угловой скорости направлен в сторону хода правого винта при вращении винта в направлении вращения тела (рис.3). При ускоренном вращении тела направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны.

2. Связь линейных и угловых характеристик.

Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии , то за время она проходит путь

.

Скорость точки , или

. (21)

При вращении тела тангенциальное ускорение его точки , или

. (22)

Нормальное ускорение точки тела , или

. (23)

Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле

.

4 сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства

И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

Первый закон Ньютона: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Первый закон Ньютона называют законом инерции, а движение тела без воздействия внешних сил – движением по инерции.

Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела.

(2.1)

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения ускорения, силы и массы.

Если все физические величины измеряют в единицах одной системы, то =1 и (2.1')

или в векторной форме . (2.1'')

Второй закон сам Ньютон записывал несколько в иной форме, через понятие импульса. Векторная величина (2.2)называется импульсом.Записав, что , можно получить второй закон Ньютона в следующем виде: (2.3)

Из (2.3) следует, что скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми действуют друг на друга тела, равны по модулю и противоположны по направлению: (2.4)

Эти силы приложены к разным телам и не уравновешивают друг друга.

5 Инерциальные системы отсчета –это система отсчета, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на нее не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Всякая система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, есть также инерциальная система отсчета.

Принцип относительности Галилея.

Любая система отчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно некоторой инерциальной системы отчета, также является инерциальной, т.е. инерциальных систем имеется бесчисленное множество.

Рассмотрим две системы отчета, движущиеся относительно друг друга с постояной скоростью υ_о.

Пусть X, Y, Z координаты в неподвижной, а в движущейся системе. Движется система прямолинейно и равномерно со скоростью v₀ (рис.3.1.) вдоль оси X.. Через время t координаты точки А будут:

(3.1)

Соотношения (3.1.) называются преобразованиями Галилея. С их помощью осуществляется переход от движущейся системы к неподвижной и наоборот.

Продифференцировав (3.1.) по времени, получим

В векторной форме эти уравнения представляются одним равенством:

υ = υ` + υ_о (3.2)

Это принцип сложения скоростей. В результате дифференцирования по t (3.2.) получим: a = a` (3.3)

6. механическая система -это совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Силы, действующие в системе тел, подразделяют на внутренние (силы взаимодействия тел системы между собой) и внешние (силы, действующие на тела системы, со стороны тел, не входящих в неё).

Замкнутая система - система тел, для которой равнодействующая всех сил равна нулю

Пусть имеется замкнутая система из n материальных точек. К каждой точке приложены силы и т.д. (рис. 2.1). Массы и скорости точек соответственно равны и v_1, v₂, v₃,..v_n. Применим второй закон Ньютона для каждой из точек системы:

F_2-1 2

F_1-2 3 d(m₁v₁) = (F_1-2 + F_1-3 + F_1-4 + … + F_1-n)dt;

F_1-n F_1-3 d(m₂v₂) = (F_2-1 + F_2-3 + F_2-4 + … + F_2-n)dt;

……….. …………………………………

d(m_nv_n) = (F_n-2 + F_n-3 + F_n-4 + … + F_n-(n-1))dt;

F_n-1 Складывая почленно эти уравнения и применяя третий закон Ньютона, получим:

, т.е. (2.5)

Суммарный импульс замкнутой системы является постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса для замкнутой системы, фундаментальный закон природы.

7 Центром масс системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Например, центр масс двух материальных точек находится в точке, которая делит расстояние между ними в отношении обратно пропорциональном их массам. Радиус-вектор центра масс системы определяется формулой

, (2.8) или , где

и - соответственно масса и радиус-вектор -й материальной точки; - число материальных точек в системе. Продифференцировав последнее равенство по t, получим

где М - масса всей системы. Пусть ,т.е. импульс всей системы, тогда (2.9)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс. В соответствии с (2.9) из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным, т.е. центр масс используется для нахождения закона движения твердого тела или системы.

8 Механическая работа — это физическая величина, являющаяся скалярной количественной мерой действия силы или сил на тело или систему, зависящая от численной величины, направления силы (сил) и от перемещения точки (точек) тела или системы(Дж)

Работой силы F на перемещении dS называется величина, численно равная произведению проекции этой силы F_S на направление перемещения на величину самого перемещения.

Если сила F постоянна, а тело, к которому она приложена, движется поступательно и прямолинейно, то работа, совершаемая силой F, при прохождении пути S, определяется формулой: A=FScosa = F_sS, где a -угол между направлением силы F и перемещения S.

F_s = Fcosa ­­­­­­­­­­­­­­­­- проекция силы F на направление перемещения. В общем случае движения тела по криволинейной траектории под действием переменной силы сначала находят элементарную работу dA на малом перемещении dS, на котором модуль и направление силы можно считать неизменными, а траекторию прямолинейной: dA = F_s dS (3.5)

Суммарную работу А силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 находят интегрированием:

Мощность- работу за единицу времени(скаляр(Вт)) N = или N = F • υ

9 Энергия( скаляр(Дж) ) - физическая величина служащая универсальной серой различных форм движения и взаимодействия.

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Элементарная работа силы F_S на пути dS равна: dA = F_s ∙ dS = m ∙ dS = mυ ∙dυ , отсюда A = = – = W_k2 – W_k1

10 Потенциальная энергия - это энергия, которая зависит только от взаимного расположения взаимодействующих частей системы и от их положения во внешнем силовом поле.

Силовое поле - пространство, в каждой точке которого на тело действует определенная сила.

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы. При этом механическая энергия переходит частично в теплоту.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией. Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, т.к. работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA = - dW_п (3.8)

Найдем связь потенциальной энергии и силы. Известно,

F_sdS= -dW_п или F_s =, отсюда F = -gradW_п (3.9)

т.е. сила равна градиенту потенциальной энергии со знаком минус. Соотношение (3.9) записано в векторном виде, при этом:

gradW_п = i + j + k

где - единичные векторы координатных осей, а сам вектор называется градиентом скаляра . Для выражения применяется обозначение . Это символический вектор, его называют оператором Гамильтона или набла-оператором:

= i + j + k (3.10)

Поэтому (3.9) может иметь вид: F = - W_п (3.11)

Известно, что с помощью формулы работы можно вычислить

потенциальную энергию массы m в поле Земли на высотах и :

W_п = mgh₂ – mgh₁ (3.12)

Потенциальная энергия определяется и другой формулой (3.12). Например, потенциальная энергия сжатой пружины

W_п = (3.13)

Действительно, из формул F= -kx., dA=Fdx, найдем

dA=dW_п = -kxdx. Интегрируя последнее, получим (3.13)

11. Полной механической энергией системы называют величину W, равную сумме кинетической и потенциальной энергий этой системы:

W = W_п + W_к

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной (закон сохранения энергии в механике).

Для доказательства закона сохранения механической энергии рассмотрим систему материальных точек движущихся со скоростями Запишем по второму закону Ньютона уравнения для каждой точки, как и в случае доказательства закона сохранения импульса:

m₁= (F_1-2 + F_1-3 + F_1-n) + F₁^*

m_n= (F_n-1 + F_n-2 + F_n(n-1)) + F_n^*

F_1, F₂ ......F_n - это внешние неконсервативные силы, кроме того в скобках, в отличие от доказательства закона сохранения импульса, могут быть не только консервативные внутренние силы, но и внешние консервативные, т.е. сумма в скобках не равна нулю.

Каждое из уравнений умножим на υ₁dt = dr и, сложив все равенства почленно, получим:

Если внешние консервативные силы отсутствуют, то с учетом, что , а второй член равен убыли потенциальной энергии - , можно записать

dW_к + dW_п = 0 или d (W_к + W_п) = 0, откуда

W_к + W_п = const

Таким образом, доказали, что полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Из доказательства следует, что это закон для систем, где действуют только консервативные силы.

12 Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Момент инерции. Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси называется величина, равная:

J = m·r², (6.5) где r - кратчайшее расстояние от оси вращения до точки.

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции его частей:

J = ∑m_i·r_i² (6.6)

Следовательно, момент инерции твердого тела зависит от:

1. массы тела;

2. формы и размеров тела;

3. распределения массы относительно оси вращения (при переносе оси вращения или отдельных частей тела его момент инерции изменяется).

Для симметричных тел момент инерции рассчитывается с помощью интегрального исчисления

Рассмотрим абсолютно твердое тело вращающееся около неподвижной оси z,. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т ₁, т ₂ ,. .., т_n , находящиеся на расстоянии r ₁, r ₂,..., r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементар­ные объемы будут вращаться с одинаковой угловой скоростью (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где J_z — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(17.2) (справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.)

момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; Jc — момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w — угловая скорость тела.

теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

13)

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

(18.1)

где a— угол между r и F; r sina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: