Прямые методы решения задач динамики (шаговый метод)

Для решения задач динамики могут быть применены численные методы, называемые прямыми, т.к. при их использовании не производится никаких преобразований уравнений. В прямых методах решение ведется по шагам, поэтому они так же называются шаговыми методами. По существу на каждом шаге решается статическая задача, в кот. в соответствии с принципом Даламбера добавлена сила инерции и сопротивления. Точность решения зависит от дин. модели и в значительной степени от величины временного шага и числа этих шагов. Нередко для достижения заданной точности приходится использовать относительно малые временные шаги и большое их число. При этом время решения задачи находится в прямой зависимости от числа шагов. Использование процедуры автоматического выбора шага дает возможность программе менять его величину в процессе решения в зависимости от частоты отклика и влияния нелинейностей, что уменьшает общее число шагов и сберегает ресурсы компьютера. В ряде случаев применение этой процедуры не дает преимуществ. Применяется несколько вариантов шаговой процедуры интегрированием по времени, отличается друг от друга формой конечно-разностного представления функций скорости и ускорения .

Наиболее распространена одношаговая процедура Вицина? в которой используется вспомогательное соотношение для различных значений времени t и t+ :

- шаг по времени

(1)

(2)

Подставим эти выражения в уравнения движения представл. для шага t+ , получим:

(3)

Из уравнения (3) определяется q на шаге t+ далее используя уравнения (1) и (2) определяется , а далее на t+ далее процедура повторяется на каждом последующем временном шаге. Поскольку число шагов исчисляется десятками, то из уравнения (3) следует, что продолжительность решения дин. задачи возрастает со статической в такое же число раз. Этот метод относится к числу условно устойчивых. Для повышения устойчивости решения используются спец. процедуры.