Пример 1.
Тело падает в сопротивляющейся среде с высоты под действием силы тяжести
и силы сопротивления
, пропорциональной квадрату скорости (
- постоянный коэффициент). С какой скоростью тело упадет на землю, если его начальная скорость
?
Решение.
На схеме (рис. 1) показаны начальное () и текущее (
) положение тела. Для начального положения тела показан вектор начальной скорости
, для текущего – приложенные силы. Дифференциальное уравнение движения:
.
Так как
,
то дифференциальное уравнение движения можно переписать в виде
.
Но
.
Поэтому:
;
или
.
Это уравнение является линейным относительно . Если обозначить
,
,
, его можно привести к виду
.
Общее решение этого уравнения:
,
где - произвольная постоянная.
Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем:
.
Начальное условие: при ,
. Поэтому:
,
.
Следовательно:
.
Следовательно, при :
.
ПРИМЕР 2.
Лодка массой плавает в стоячей воде. На задней скамейке лодки, находящейся в покое, сидели два человека. Один из них, массой
, перешел на нос лодки, пройдя по ней расстояние
, другой, массой
, переместился на среднюю скамейку на расстояние
. На какое расстояние переместится при этом лодка?
|
|
При решении задачи людей считать материальными точками, сопротивлением воды пренебречь.
Решение.
На схеме (рис. 2) показаны внешние силы, действующие на механическую систему, состоящую из лодки и двух материальных точек, схематизирующих пассажиров лодки: силы тяжести
,
,
и выталкивающая сила воды
. Все внешние силы направлены по вертикали, их проекции на неподвижную горизонтальную ось Ох равны нулю. Поэтому дифференциальное уравнение движения центра масс С системы в проекциях на ось Ох будет:
,
или . Отсюда, интегрируя, находим
. Значение постоянной интегрирования определяется из начального условия: при
(так как вся система в начальный момент неподвижна). Тогда
и
. Интегрируя еще раз, получаем
(
- координата центра масс системы при
).
По определению координата центра масс механической системы определяется выражением:
.
Поэтому из равенства следует
или
, или окончательно
, где
есть приращение координаты центра тяжести
-го тела, входящего в систему, или, что то же, проекция его перемещения на ось Х.
В нашем случае абсолютные перемещения пассажиров и
складываются из переносного перемещения вместе с лодкой
и относительных по отношению лодки:
,
.
Поэтому:
.
Отсюда:
.
Знак минус означает, что лодка перемещается против Х.
ПРИМЕР 3.
Горизонтальная прямоугольная пластина АВДЕ со сторонами АВ=а= 0,30 м, ВД = b =0,40 м и массой
кг может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси
, проходящей через точку Е (рис. 3). На пластине имеется прямоугольный желоб АД, по которому может двигаться без трения груз массой
кг.
|
|
В начальный момент пластина и груз неподвижны, и груз находится в точке А, затем груз начинает двигаться по пластине под действием внутренних сил по закону , м.
Определить угловую скорость пластины как функцию времени и найти ее значение в момент, когда груз окажется в точке Д.
Решение.
На схеме показаны внешние силы, действующие на систему пластина – груз: силы тяжести ,
и реакции
,
,
,
,
подшипника
и подшипника
. Моменты каждой из этих сил относительно оси
равны нулю. Поэтому по теореме об изменении кинетического момента
. Отсюда
. Постоянная интегрирования
, так как в начальный момент система неподвижна. Следовательно
.
Так как система состоит из двух тел – пластины и груза, то ее кинетический момент равен сумме кинетического момента пластины и момента количества движения
груза:
. Пластина вращается вокруг неподвижной оси, поэтому
(
- проекция вектора угловой скорости
на ось
).
Момент инерции пластины по теореме Штейнера:
.
При определении момента количества движения груза учитываем, что его движение сложное и абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной
и относительной
скоростей.
По теореме Вариньона момент вектора относительно оси равен алгебраической сумме моментов его составляющих, поэтому момент количества движения груза равен сумме моментов векторов и
:
.
На рис. 4 вектор относительной скорости
направлен в положительную сторону оси
, что соответствует случаю, когда:
.
В этом случае отрицателен (точка движется по отношению к оси
по часовой стрелке). Если будет
(проекция
на ось
отрицательно), то направление
будет противоположным и
должен быть положительным. В обоих случаях справедливо равенство
.
Аналогично направление вращения пластины и переносной скорости показаны на рис. 4 для случая, когда
. В этом случае
и
. Если же будет
, то вектор
будет направлен в противоположную сторону и равен по модулю
; момент количества движения будет равен:
.
Таким образом, и для момента вектора в обоих случаях (
и
) получили одинаковое выражение
. Следовательно, при любых знаках величин
и
момент количества движения груза:
.
Вычислим и
. Из
. Из
. Следовательно,
. Из
по теореме косинусов
. Из
. Поэтому
.
Подставляя и
в выражение для
и прибавив к нему кинетический момент пластины, получим выражение для кинетического момента системы, который по доказанному ранее равен нулю:
.
После подстановки числовых значений получаем:
,
откуда
,
или
.
Чтобы определить значение в момент прихода груза в точку
, замечаем, что в этот момент
, или
; откуда
с. При
с получаем
.
ПРИМЕР 4.
Ступенчатый шкив 1, имеющий массу и радиус инерции относительно оси вращения
, обмотан гибкими нерастяжимыми нитями. К нити, сходящей со ступени радиуса
прикреплен груз 2 массы
. К нити, сходящей со ступени радиуса
, шарнирно прикреплен цилиндр 3 в точке
, лежащей на его оси. Этот цилиндр также обмотан нитью, конец которой закреплен в точке А. Участки
и
параллельны. Радиус цилиндра равен
, а его масса -
и равномерно распределена по его объему. Массы и радиусы удовлетворяют условию
. Пренебрегая трением в шарнирах, определить угловую скорость
ступенчатого шкива в функции угла
его поворота, его угловое ускорение
, натяжения нитей
,
,
и реакцию оси
. В начальный момент система неподвижна.
Решение.
Кинетическая энергия ступенчатого вала, вращающегося вокруг неподвижной оси:
.
Кинетическая энергия груза 2, совершающего поступательное движение:
.
Кинетическая энергия цилиндра, совершающего плоскопараллельное движение:
.
Мгновенный центр скоростей сечения цилиндра плоскостью чертежа находится в точке В (так как скорость участка нити АВ равна нулю).
|
|
Поэтому . Момент инерции цилиндра
. Подставив эти выражения в формулу для
, получим:
.
Учитывая, что , окончательно
.
Кинетическая энергия системы
.
При повороте ступенчатого шкива на угол груз
опускается на величину
, а ось цилиндра поднимается на
. Сумма работ сил тяжести:
.
Другие силы, приложенные в данной системе, работы не совершают.
Так как в начальный момент система неподвижна, то по теореме об изменении кинетической энергии:
.
Это равенство и определяет зависимость от
.
Чтобы найти угловое ускорение шкива 1, дифференцируем левую и правую части этого равенства по времени:
.
Так как ,
, то отсюда получаем:
.
Чтобы определить натяжение
нити
, напишем уравнение второго закона Ньютона для груза 2, к которому приложены силы
и
(рис. 6):
,
где - ускорение груза.
Отсюда
.
Для определения натяжения нити
применим к ступенчатому шкиву дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. К шкиву приложены силы
,
,
,
(рис. 7). Поэтому
.
Так как , то отсюда
.
Для определения реакции применим к шкиву теорему о движении центра масс:
.
Так как , то
.
Наконец, для определения натяжения нити АВ применим теорему о движении центра масс к цилиндру 3, на который действуют внешние силы
,
,
(рис. 8):
.
Так как , то отсюда
Подставив сюда выражение , получим
.
ПРИМЕР 5.
Пользуясь принципом возможных перемещений, определить для составной конструкции, изображенной на схеме (рис. 9), реактивный момент и вертикальную составляющую реакции заделки, если
.
,
,
м,
кН,
кН.
Решение.
Для определения реактивного момента заменим заделку в точке А шарнирно-неподвижной опорой, компенсировав отброшенную связь ее реакцией – реактивной парой сил с неизвестным моментом
(рис. 10).
Получившейся механической системе с одной степенью свободы даем возможное перемещение, повернув мысленно уголок АДВ на бесконечно малый угол , например по часовой стрелке. Точка В получит при этом возможное перемещение
, направленное перпендикулярно АВ и равное по модулю
; точка С получит возможное перемещение
, параллельное опорной плоскости шарнирно-неподвижной опоры С; стержень ВС повернется вокруг точки L – центра поворота, определенного как и МЦС в кинематике, как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через точки В и С к направлениям их возможных перемещений. Угол
, на который стержень ВС повернется вокруг точки L, определяется равенством:
|
|
, откуда
.
Для нахождения воспользуемся теоремой синусов. Из
(см. рис. 10):
.
Отсюда:
.
Следовательно,
.
Теперь подсчитаем и приравняем к нулю сумму работ сил ,
и пары с моментом
при возможном перемещении системы.
Используя правило: работа сил, приложенных к вращающемуся телу, равна взятому с соответствующим знаком произведению момента сил относительно оси вращения на угол поворота. Поэтому:
.
Здесь в первых скобах записана сумма моментов силы
и реактивной пары относительно точки А. Для определения момента силы
она была разложена на вертикальную и горизонтальную составляющие. Со знаком плюс записаны моменты, направленные в сторону поворота
. Момент пары записан со знаком минус, так как она стремится вращать уголок в направлении, противоположном возможному перемещению
. Во вторых скобках записано плечо силы
относительно точки L. Знак минус перед второй скобкой поставлен потому, что сила
стремится вращать стержень ВС вокруг точки L в направлении противоположном возможному перемещению
.
Заменяя в предыдущем равенстве его выражением через
и учитывая, что
,
, можем переписать его в виде:
.
Так как , то отсюда:
кН×м.
Для нахождения вертикальной составляющей реакции заделки А заменим в исходной схеме заделку ползуном, который может перемещаться в вертикальном направлении и к которому жестко прикреплен угол АДВ, а отброшенную связь компенсируем вертикальной реакцией (рис. 11).
Даем получившейся механической системе возможное перемещение, мысленно переместив угол АДВ поступательно вверх (). Стержень ВС повернется вокруг центра поворота G на угол
. Уравнение принципа возможных перемещений запишется в виде:
,
откуда, учитывая, что ,
,
, получаем
кН.
ПРИМЕР 6.
Сплошной однородный цилиндр 1 массой кг и радиусом
м может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси
. С цилиндром жестко скреплены тонкие однородны стержни 3 и 4 массой
и длиной
каждый. В середине В стержня 4 к нему прикреплена нить, перекинутая через невесомый блок 2 и намотанная на цилиндр 5, одинаковый с цилиндром 1. При движение системы ось
цилиндра 5 перемещается по вертикали. В точке Д к стержню 3 прикреплена пружина жесткостью
кН/м. В начальном положении системы стержень 3 и участок нити между стержнем и блоком расположены горизонтально, а стержень 4 и ось пружины – вертикально; пружина растянута на величину
.
Начальные значения обобщенных координат и
равны нулю, а обобщенных скоростей -
,
. Трением в осях
,
, массой пружины и нити пренебрегаем.
Используя уравнение Лагранжа II рода, найти кинематические уравнения движения системы при малых отклонениях цилиндра 1 от начального положения и определить круговую частоту и период колебания системы.
Решение.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий вращающегося цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями и цилиндра 5, совершающего плоскопараллельное движение:
.
В этом выражении - момент инерции цилиндра относительно его оси;
- момент инерции стержня; в квадратных скобках – момент инерции цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями.
Скорость центра цилиндра 5 равна сумме скорости точки
нити и скорости
точки
во вращательном движении вокруг полюса
.
Для определения
рассмотрим положение системы, при котором цилиндр 1 и стержни 3 и 4 отклонены от начального положения на угол
(рис. 13). Скорость точки
нити равна скорости точки Е, в которой участок нити ВЕ касается блока 2. Так как нить нерастяжима, то проекция скоростей точек В и Е на направление нити равны. Поэтому:
.
Теперь воспользуемся малостью отклонений стержней от начального положения. Как известно, функция и
можно разложить в ряды Маклорена:
;
.
При «малых» (до 0,1 радиана) значения
и
отличаются от первых членов соответствующих разложений менее чем на 0,5%. Поэтому можно принять
,
. Так как при «малом»
угол
также является «малым», то
. Поэтому в этом случае
, тогда
.
Подставляя в ранее написанное выражение для Т, после простых преобразований приводим его к виду:
.
Для нахождения обобщенных сил и
, соответствующих обобщенным координатам
и
, вновь обратимся к рис. 13. Чтобы определить
, дадим мысленно системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата
изменяется на бесконечно малую величину
, а обобщенная координата
не изменяется. В этом случае точка В получит возможное перемещение
, направленное по вектору
. Такие же по абсолютному значению перемещения при «малых»
получат точки Е, G, К и
. Поэтому сила тяжести цилиндра 5 совершит работу
. Работа сил тяжести стержней и силы упругости
пружины равна произведению их момента относительно оси вращения
на угол поворота
, т.е.
.
Из рис. 13 видно (см. ), что
.
При
. Этот результат означает, что угол
является малым более высокого порядка, чем
(имеет порядок квадрата
), и по сравнению с
им можно пренебречь. Тогда сумма работ всех задаваемых сил при повороте цилиндра 1 на угол
будет:
.
Укорочение пружины, соответствующее положению цилиндра 1, повернутому из начального положения на угол , равно разности
. Длина
укоротившейся пружины равна
,
или при «малых» :
.
Следовательно, укорочение пружины
.
Так как в начальный момент пружина была растянута на величину , то ее растяжение уменьшается и станет
, а упругая сила будет
.
Обобщенна сила, соответствующая углу :
,
или окончательно
.
Для нахождения обобщенной силы , соответствующей обобщенной координате
, нужно сообщить системе возможное перемещение, при котором
останется неизменным, а
увеличивается на бесконечно малую величину
. В этом случае работу совершает только сила тяжести цилиндра 5:
.
Обобщенная сила:
.
Теперь составим уравнение Лагранжа:
,
.
Частные производные:
;
.
,
.
Уравнение Лагранжа будет иметь вид:
;
.
Из второго уравнения после сокращения его на :
.
Подставив это выражение в первое уравнение, после простых преобразований получим:
.
Обозначим:
.
Величина:
1/с
и представляет искомую круговую частоту колебаний.
Период колебаний:
с.
Общее решение дифференциального уравнения малых колебаний цилиндра:
есть функция:
.
Для нахождения постоянных интегрирования и
используем начальные условия: при
,
,
(1/с).
Из первого условия следует ; из второго условия, учитывая, что:
,
получаем ;
. Поэтому окончательно:
.
Для нахождения интегрируем ранее полученное уравнение:
.
Имеем:
.
Из начальных условий: при ,
,
следует
;
. Тогда:
.
Интегрируя еще раз, получаем:
.
Из начальных условий: при ,
,
следует
. Поэтому:
.
После подстановки числовых значений:
.
ПРИМЕР 7.
Вывести кинематические уравнения движения системы, показанной на рис. 14, пренебрегая массой пружины. Качение катка происходит без проскальзывания. Трением в оси
пренебречь. Блок и каток – одинаковые цилиндры радиусом
м и массой
кг, равномерно распределенной по их объему. Жесткость пружины
Н/м.
Начальные значения обобщенных координат и
равны нулю; начальное удлинение пружины
; начальные значения обобщенных скоростей
м/с,
.
Решение.
Кинетическая энергия системы:
.
Обобщенные силы:
,
,
где - сила упругости пружины.
Уравнение Лагранжа для рассмотренной системы:
;
.
Сила упругости зависит от деформации
пружины, которая равна
, где
- начальное значение деформации. Обозначим
. Тогда
;
. С другой стороны, дифференциальные уравнения движения системы можно представить в виде:
;
.
Вычитая из первого уравнение второе, получаем
,
или
.
Подставляя заданное значение , получим:
, где
.
Решением этого дифференциального уравнения при начальных условиях: при ,
,
является функция:
. Тогда
.
Дифференциальные уравнения движения системы принимают вид:
;
.
Интегрируя эти уравнения при начальных условиях: ,
,
,
,
, получим:
;
;
;
.
После подстановки численных значений получим:
;
.