Теория множеств

числу и «перехода к пределу» — дает возможность получать все новые и новые порядковые числа, имею­щие вид «многочленов», от-со, а затем п сколь угодно

длинные итерации «степеней» вида м'" — но не только их: согласно второму из упомянутых порож­дающих принципов, за каждой возрастающей после­довательностью порядковых чисел следует порядковое число, превосходящее все члены этой последователь­ности, т.е. шкала «ординалов» (еще один синоним для термина «порядковое число» — по аналогии с мощно­стями — «кардиналами») неограннчена (причем каж­дое порядковое число а является индексом нек-рого кардинального числа Ц_а). Между кардинальными и ординальными числами есть простая связь: кардиналь­ные числа — это «наименьшие» ординальные числа, т. е. ординальные числа, не эквивалентные (в опреде­ленном выше для множеств смысле) никаким меньшим "ix ординальным числам; ординальные же числа, сле­дуя Дж. Нейману, в настоящее время чаще всего определяют как члены последовательности, начинаю­щейся с числа 0 (отождествляемого с пустым множест­вом), каждый член к-рой есть класс (множество) всех предшествующих членов этой последовательности. Ин­дуктивный процесс порождения порядковых чисел (см. разд. Рекурсивные и индуктивные определения в ст. Определение) позволяет ввести т. н. трансфинит­ную индукцию — способ определения и доказательст­ва свойств объектов, принадлежащих произвольным вполне упорядоч. множествам и занумерованным трансфинитнымп порядковыми числами. Трансфинит-ная индукция, являющаяся непосредств. обобщением метода обычной математической индукции, имеет разнообразные применения во мн. разделах матема­тики (особенно в алгебре, топологии, функциональном анализе): это один из примеров того, как далеко раз­витая ветвь «общей» Т. м. — теория кардинальных и ординальных чисел — играет роль не только «логи­ческой базы» математики, но и является «рабочим инструментом» получения новых математических фактов.

Еще одним важным разделом Т. м. является теория точечных (пространственных, плоских, линей­ных) множеств, т. е. «тех самых» множеств, к-рые изучаются в математич. анализе. Эта теория входит в качестве «первой главы» во мн. разделы «высшего анализа», в частности в д е с к р и п т и в н у ю Т. м., изучающую структуру и свойства различных классов множеств, получаемых, исходя из точечных множеств сравнительно простой структуры (отрезки, интервалы, их объединения и пересечения), с помощью тех или иных операций. В дескриптивной Т. м., являющейся «общей теорией континуума» и развивавшейся гл. обр. трудами представителей Московской математич. шко­лы Д. Ф. Егорова — Н. Н. Лузина и Парижской школы Р. Бэра, Э. Бореля и А. Лебега (см. Эффекти-■еизм), возникло особенно много таких проблем, к-рые, как и проблема континуума, дали основание Лузину высказать предположение об их принципиальной не­разрешимости средствами канторовской Т. м. (т. е. в известном смысле о неполноте последней). Непро­тиворечивость ряда предложений дескриптивной Т. м., установленная позднее К. Гёделем, П. С. Новиковым, А. Мостовским, Дж. Аддисоном и др., и означает ^(вместе, конечно, с тривиальной непротиворечивостью ■отрицаний этих предложений) неразрешимость соот-ветств. проблем. Дескриптивная Т. м. играла, т. о., важную роль в формировании идей и методов матема­тической логики; в дальнейшем обнаружилось глубо­кое родство между осн. ее понятиями и результатами и их аналогами в теории рекурсивных функций и пре­дикатов (точнее, первые сыграли роль прообразов для вторых; см. Предикатов классификации).

К началу 20 в. (а в глазах подавляющего большин­ства математиков, далеких от проблем обоснования,— и по наст, время; такова, напр., позиция Н. Бурбаки) Т. м. не только стала играть роль фундамента мате­матич. теорий, но и проникать своими далеко идущими следствиями в их «верхние этажи». Единственная, по существу, ветвь «чистой» математики, не зависящая от принятия теоретико-множеств. взгляда — ариф­метика натуральных чисел, и та, по замыслу Фреге— Рассела (см. Логицизм), «погружалась в логику» в качестве части Т. м., а именно, теории конечных кардинальных чисел, с к-рыми (в отличие от ак-сиоматич. подхода Р. Дедекинда, Г. Грасмана и Дж. Пеано, уточняющего представление о конечном порядковом числе) и отождествлялись натуральные числа. Но именно в этом пункте Т. м. ожидало серьез­ное потрясение: в ней (исторически — в работе Фреге, посвященной основным законам арифметики) были обнаружены парадоксы (антиномии, противоре­чия, нек-рые из к-рых, как выяснилось позднее, были известны еще самому Кантору). Парадоксы Т. м. при всем различии их формулировок имели своей общей причиной неограниченное применение т. н. прин­ципа свертывания (см. Принцип абстракции), согласно к-рому введение в рассмотрение множеств, охаракте­ризованных любым общим «свойством» их элементов (произвольным предикатом), есть вполне законная «мыслительная операция» Т. м. с неогранич. принци­пом свертывания (к-рый при неформализованном из­ложении к тому же, как правило, явно и не формули­руется) принято называть «наивной» Т. м.

Противоречивость наивной Т. м. преодолевается в первую очередь при помощи различных формулиро­вок аксиоматической Т. м. (см. Метод аксиоматический). В одной из первых (1908) систем аксиоматпч. Т. м. — системе Цермело — Френкеля, обозначаемой обычно ZF, формулы к-рой получаются из т. н. «элементарных формул» вида х£у (читается: «х принадлежит у») средствами обычного предикатов ис­числения, принцип свертывания заменяется несколь­кими его частными случаями: аксиомой существования множества-пары {х, у} для любых (данных) мно­жеств х и у; аксиомой существования объединения (суммы) всех элементов произвольного множества х в новое множество S(x), элементами к-рого будут все элементы элементов х; аксиомой существования мно­жества Р(х) всех подмножеств произвольного мно­жества х; аксиомой существования бесконечного мно­жества п схемами аксиом: схемой выделения, согласно к-рой для всякого множества х и свойства ф, опреде­ленного в этом множестве, существует множество эле­ментов х, обладающих свойством <р, и схемой подста­новки, утверждающей, что для любого взаимно­однозначного отображения элементов произвольного данного множества х, описываемого на языке системы ZF, существует множество таких г, на к-рые отобра­жаются эти элементы х. Не подпадает под схему прин­ципа свертывания т. н. аксиома выбора (о существо­вании «множества представителей», т. е. множества, содержащего в точности по одному элементу нз каж­дого из данных непустых попарно непересекающихся множеств). Как и во всякой др. системе аксноматич. Т. м., в ZF постулируется также аксиома объемности (экстенсиональности), согласно к-рой множества, со­стоящие из одних и тех же элементов, совпадают (см. Объемности принцип). Иногда к ZF присоединяют п нек-рые др. аксиомы более спец. назначения, напр. т. н. аксиому фундирования (или регулярности), ис­ключающую, в частности, возможность возникнове­ния «патологических» множеств, для к-рых было бы х£х, х£у&у£х и т. п., пли аксиомы, постулирующие, наоборот, существование нек-рых спец. объектов, напр. т. н. недостижимых (хотя бы с помощью описан-

;—ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ

ной выше конструкции) кардинальных и(ли) порядко­вых чисел. Последнее предполагает построение сред­ствами ZF теории мощности и порядка, что легко осу­ществимо, так же как и построение этими средствами, по существу, всей классич. математики. Позднее были предложены многочисл. видоизменения ZF (А. Мо­сковский, Т. Сколем и др.) и системы, отличающиеся от ZF тем, что «плохие» (приводящие к парадоксам) совокупности элементов не вовсе исключаются из рассмотрения (что в нек-ром роде не вполне естест­венно), а признаются «собственно классами», т. е. мно­жествами, не могущими принадлежать в качестве элемента др. множествам (эта идея, идущая от Дж. Неймана, была развита П. Бернайсом, К. Гёделем и др.). Системы эти, в отличие от ZF, могут быть заданы посредством конечного числа аксиом. Др. под­ход к преодолению парадоксов реализован в теории типов Б. Рассела и А. Н. Уайтхедап ее модификациях, в к-рых ограничения накладываются не на аксиомы свертывания, а на критерии «осмысленности» (закон­ности, допустимости) фигурирующих в них «условий» (свойств), а также в системах, подобных NF Куай­на, сочетающих оба упомянутых подхода (см. Типов теории).

Для различных систем аксиоматич. Т. м. и отдель­ных их аксиом существенным является вопрос об их (относительной) непротиворечивости. В 1940 К. Гё-дель доказал относительную непротиворечивость ак­сиомы выбора (вызывавшей ранее ввиду своего некон­структивного, чисто экзистенциального характера, мн. сомнений и споров) и континуум-гипотезы для описанной им системы 2 (а тем самым и для ZF); в дальнейшем этот результат был перенесен на теорию типов (самую слабую из перечисленных систем), а за­тем и на NF (для ослабл. формы аксиомы выбора, по­скольку, как показал в 1959 Э. Шпеккер, обычная ее форма в NF опровержима). В 1963 амер. математик П. Дж. Коэн доказал совместимость с ZF отрицаний континуум-гипотезы и аксиомы выбора (а тем са­мым и независимость этих предложений; вскоре близкие результаты были получены также чешскими логиками П. Вопенкой и К. Буковским). Установлен­ная таким образом неразрешимость столь «естест­венно поставленных» проблем лишний раз подчерк­нула зыбкость платонистских представлений об «объ­ективности» описываемых ими «обстояний». Одним из серьезных источников установленных фактов яв­ляется «парадокс Сколема», говорящий об относи­тельности понятия мощности; этот парадокс вытекает из теоремы Лёвенхейма — Сколема о наличии моделей произвольной мощности у непротиворечивых систем, в силу к-рой понятие категоричности системы аксиом для сколь-либо богатых систем оказывается бес­предметным.

Ни в одной из описанных систем Т. м. не возникают известные парадоксы. Однако проблема абсолютной их непротиворечивости, ввиду теоремы Гёделя о неполно­те (см. Метатеория), казалась до последнего времени безнадежной. Только привлечение средств ультра­интуиционистской программы (см. A. S. Esenine-Vol-pine, Le programme ultra-intuitioniste des fondements des mathematiques, Infinitistic methods, Warsaw, 1961) позволило доказать непротиворечивость ZF (и теории типов). Но для NF эта проблема не решена до сих пор. Следует, наконец, отметить, что для представителей интуиционизма И конструктивизма (см. Конструк­тивное направление в логике и математике) проблема обоснования Т. м. в описанном выше смысле вообще не встает: классическая Т. м. неприемлема для них независимо от того, насколько она уязвима парадо­ксами, в силу основанного на абстракции актуальной бесконечности неконструктивного, неэффективного характера ее экзистенциальных утверждений. Для

конструктивистских же версий Т.м. (или, как, следуя Брауэру и Рейтингу, ее называют, теории видов) принцип свертывания, взятый «во всей его силе», ока­зывается тривиальностью: интуиционисты попросту отождествляют «множества» и «свойства», что не порож­дает, однако, никаких новых проблем, ибо их «свой­ства», по определению, эффективно проверяемы.

Лит.: Френкель А. иБа р-Х и л л е л И., Основания
теории множеств, пер. с англ., М., 1966 (библ.); К о э н П. Д ж.,
Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969;
Есеии н-В ольпин А. С,К обоснованию теории множеств,
в сб.: Логические исследования, М., 1959; Г е й т и н г А.,
Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Q u i n e W. О. V., Set
theory and its logic, N. Y., 1963. Ю. Гостев. Москва.

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ — см. Относи­тельности теория.

ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ (гносеология, эпистемо­логия) — раздел философии, в к-ром изучаются проб­лемы природы и возможностей познания, отношения знания к реальности, исследуются всеобщие предпо­сылки познания, выявляются условия его достовер­ности и истинности. В отличие от психологии, физио­логии высшей нервной деятельности п др. наук, Т. п. как филос. дисциплина анализирует не характер ин­дивидуальных, функционирующих в психике меха­низмов, позволяющих тому или иному субъекту прийти к определенному познават. результату, а все­общие основания, дающие право говорить об этом результате как о з н а н и и, т. е. как о чем-то выра­жающем реальное, истинное положение дел. Двумя осн. направлениями в Т. п. являются материализм н идеализм. Термин «Т. п.» ввел в философию шотл. философ Дж. Феррьер в 1854.

Любая спец.-науч. теория относится к ограни­ченной сфере реальности и исходит из нек-рых пред­посылок, принимаемых ею как данные, неанализируе-мые (результаты др. науч. теорий, эксперимент, ма­териал, зафиксированный в категориях обыденного языка, определ. представления об условиях приемле­мости науч. теории и т. д.). В отличие от этого, Т. п. пытается выявить п критически исследовать сами ус­ловия истинности всякого знания, обнаружить те конечные, предельные основания, к-рые позволяют бесспорно судить о степени обоснованности, соответ­ствия реальности любого конкретного вида знания. Поскольку Т. п. (во всяком случае — в идеале) не может предполагать существования предпосылок,, к-рые не анализируются, а просто принимаются в ка­честве общепризнанных, постольку она не может строиться как обычная теория. Но именно потому, что те предельные основания знания, поисками к-рых за­нимается Т. п., не являются чем-то общепризнанным и непосредственно очевидным, существует возмож­ность их различного понимания и трактовки. По­этому Т. п. всегда выступала и выступает в виде нали­чия различных, как правило, взаимоисключающих концепций — материалистов и идеалистов, эмпириков и рационалистов, интуитивистов и интеллектуали­стов, скептиков и догматиков и т. д. Другая особен­ность построения Т. п. состоит в том, что она, в отли­чие от спец. теорий, ориентирована на поиски всеоб­щих оснований знания и поэтому выступает не как дедуктивная теоретич. система, а как анализ различ­ных познават. образований, как развернутое обсуж­дение трудностей такого анализа, предполагающее преодоление иных теоретико-познават. подходов.

Эти особенности Т. п. объясняют тот факт, что в ней важен не только сам полученный результат — т. е. ответ на вопрос, где искать предельные основания зна­ния,— но и ведущий к нему путь, способ обоснования этого результата, способ самого формулирования проб­лем Т. п. (нек-рые теоретико-познават. концепции выступают даже преимущественно как критика дру­гих Т. п.;— такова напр., философия лингвистич.