Стационарный случайный процесс – это процесс, статистические характеристики которого одинаковы во всех временных сечениях.
Случайный процесс строго стационарен (или стационарен в узком смысле), если его многомерная плотность вероятности ( –произвольная размерность, ) не изменяется при одновременном сдвиге всех временных сечений на одинаковую величину :
т.е.:
для любого .
Процесс стационарен в широком смысле, если такое свойство независимости от временного сдвига обеспечивается лишь для одномерной и двумерной плотности вероятности.
Для стационарного случайного процесс математическое ожидание и дисперсия не зависят от моментов времени и , а лишь от интервала между ними, т.е.
Также для стационарного процесса:
и, кроме того,
Коэффициент корреляции в этом случае:
Стационарным является любой случайный процесс, реализации которого являются периодическими функциями. Например, – стационарен, – случайная величина.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим (ergodic), если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению времени одной, теоретически бесконечной реализации.
|
|
Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия эргодического процесса – смысл мощности флуактуационной составляющей.
Достаточной условие эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом . Так, например, случайный процесс – является стационарным и эргодическим.