СТЕРЖЕНЬ
Стержень массой М - материальный прямолинейный отрезок АВ длиной l. Вычислим момент инерции этого стержня относительно оси Аy
АВ. Разобьем стержень на бесконечно малые отрезки
. Расстояние от
до точки А обозначим
, а его массу -
.
Тогда: .
Линейная плотность стержня: (кг/м). Масса
элементарного отрезка
равна:
. Стержень однородный, тогда:
. Предел этой суммы - определённый интеграл по х в пределах от 0 до l:
.
Момент инерции стержня относительно центра масс С вычисляется аналогично. Пределы в этом случае надо брать от . В результате:
.
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Тонкая однородная пластина ОАВС со сторонами а и b и массой М. Вычислим момент инерции относительно оси y (стороны ОА). Разобьем площадь ОАВС прямыми, параллельными оси х, на бесконечно узкие полоски. Масса полоски -
. Каждая полоска является прямолинейным отрезком, момент инерции которого:
.
Момент инерции всего прямоугольника: .
Аналогично относительно оси х: . Для момента инерции ОАВС относительно вершины О на основании связи полярного и осевых моментов, имеем:
.