Линейность

Если имеется линейная комбинация сигналов af ₁(t) + bf ₂(t), то ее спектральная плотность равна a + b , где – спектральная плотность сигнала f ₁(t), а – спектральная плотность сигнала f ₂(t). Это свойство легко доказать, если подставить линейную комбинацию сигналов в формулу преобразования Фурье (2.11).

Свойства вещественной и мнимой частей, модуля
и аргумента спектральной плотности

Пусть f (t) – сигнал, принимающий вещественные значения. Запишем его спектральную плотность, заменив в формуле преобразования Фурье множитель
e^{– j} ^wt комбинацией косинуса и синуса:

где

– вещественная часть,

– мнимая часть спектральной плотности.

Нетрудно видеть, что функции A (w) и B (w) обладают следующими свойствами.

A (w) – четная функция частоты, т. е. A (– w) = A (w);

В (w) – нечетная функция частоты, т. е. В (– w) = – В (w).

Если f (t) – четная функция, то В (w) = 0, и спектральная плотность импульса f (t) – четная вещественная функция, т. е. S (w) = A (w).

Если f (t) – нечетная функция, то A (w) = 0, и спектральная плотность импульса f (t) – оказывается чисто мнимой нечетной функцией, т. е. S (w) = jB (w).

Интересным свойством обладает спектральная плотность на нулевой частоте: