Величину, определяющую изменение вектора скорости точки в зависимости от времени, называют ускорением точки.
Пусть движение точки задано естественным способом (рис. 4.3), а траекторией движения точки является дуга окружности. Допустим, что в некоторый момент времени t точка занимала положение М на траектории и имела скорость v, а в момент времени t1=t + Dt – положение М1 и скорость v1. Перенесем вектор v1 в точку М и построим вектор
. (4.4)
Вектор называется вектором приращения скорости. Вектор равен отношению приращения скорости к соответствующему приращению времени Dt.
. (4.5)
О |
R |
M |
M1 |
v1 |
N |
L |
K |
v |
n |
t |
Рис. 4.3
Вектором ускорения точки в момент времени t называется предел вектора среднего ускорения при стремлении промежутка времени Dt к нулю.
. (4.6)
От точки М отложим по линии действия вектора вектор , равный по абсолютной величине вектору . Приращение скорости представим в виде:
. (4.7)
Тогда
. (4.8)
Вычислим первый предел. Для этого введем на касательной к траектории движения точки в точке М единичный вектор .
|
|
, (4.9)
где Dva – приращение алгебраической величины скорости.
. (4.10)
- тангенциальное (касательное) ускорение точки, характеризующее изменение алгебраической величины вектора скорости.
Второй предел
. (4.11)
Вектор направлен перпендикулярно касательной к траектории движения точки, причем в сторону ее вогнутости. Вектор носит название нормального ускорения точки и характеризует изменение направления вектора скорости. Введем на нормали единичный вектор n и запишем формулу для полного ускорения точки
. (4.12)
Модуль и направляющие косинусы полного ускорения найдутся по формулам:
, (4.13)
(4.14)
где a - угол между направлением вектора полного ускорения и единичного вектора t, b - угол между направлением вектора полного ускорения и единичного вектора n.