Пусть метрические пространства. Любое отображение
называется оператором действующим из пространства
в пространство
.
Оператор
называется оператором сжатия, если существует такое число
для которого выполняется неравенство:
, константа
называется константой сжатия.
Неподвижной точкой оператора
называется любой такой элемент
, который удовлетворяет равенству
.
Метрическое пространство называется полным, если любая сходящаяся в себе последовательность элементов является сходящейся в этом метрическом пространстве. Следовательно метрическое пространство
является полным тогда и только тогда, когда для любой последовательности
его элементов выполняется следующее (критерий Коши):
.
(Принцип сжимающих отображений). Пусть
полное метрическое пространство и
оператор сжатия. Тогда в пространстве
существует единственная неподвижная точка оператора
.