Характеристики распределения случайной величины

Как видно из рис. З, различные случайные величины имеют различный разброс своих значений. Наглядно это показывает различная ширина «шляп». В теории вероятности рассматриваются несколько характеристик случайных величин:

Среднее значение - предел отношения суммы всех значений к общему числу наблюдений:

X _ср = Lim (∑ X _m)/N (5)

^{N→ ∞}

Для оценки среднего значения используется допредельное выражение при достаточно большом числе испытаний

X _ср ~ 1/N*∑ X _m (6)

Если случайная величина может принимать только определенные значения: X ₁ X ₂ X _m и известны вероятности появления этих значений P₁ P₂ P_m, среднее значение может быть вычислено по формуле:

X _ср = ∑ X _i * P _i (7)

Дисперсия – мера разброса значений случайной величины, определяется как среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения:

D = Lim (∑ (X _m - X _ср)²/N) (8)

^{N→ ∞}

Для оценки дисперсии при достаточно большом числе испытаний используется формула:

D ~ 1/(N*(N-1))*∑ (X _m - X _ср)² (9)

Если случайная величина может принимать только определенные значения с известными вероятностями, дисперсия вычисляется по формуле:

D = 1/(M*(M-1))*∑ (X _i - X _ср)² * P _i (10)

Где M – число различных значений Х.

Величина D характеризует разброс значений вокруг среднего. В случае измерений, D может использоватьсяв качестве меры случайной погрешности измерения. Однако, применение D не удобно. Дело в том, что размерность D равна квадрату размерности измеряемой величины. Например, мы измеряем расстояние в метрах. Подставим в (10) результаты наших замеров. Размерность D получилась равной м². Поэтому вместо D, в качестве меры случайной ошибки, применяют величину σ – называемую среднеквадратическим отклонением.

σ =√D = √( 1/(M*(M-1))*∑ (X _i - X _ср)² * P _i ) (11)

Для распределения Гаусса справедливо соотношение: «Вероятность, того, что значение величины отличается от среднего значения более чем на 3 σ меньше 0,01. Таким образом, мы можем использовать σ как меру погрешности нашего измерения.

Отступление для программистов. Как бороться с грубыми ошибками?

При организации ввода данных в нашу информационную систему мы можем использовать вероятностный метод выявления грубых ошибок в данных. Как мы видели, отклонения значения величины за 3 σ маловероятны. Организуем ввод данных так, чтобы сразу считать X _ср и σ для уже введенных данных.Тогда, при появлении значения отличающегося от среднего больше чем на 3 σ, программа выдает сообщение: «Введенное значение маловероятно! Пожалуйста, проверьте правильность ввода». Вовсе не обязательно, что мы ошиблись. Но проверить стоит. Таким образом, компьютер обращает внимание оператора на маловероятную информацию, что позволяет сократить число грубых ошибок.