Общей задачей линейного программирования (ЗЛП) называется задача нахождения максимального (минимального) значения целевой функции.
f(
при условиях
(1,1)
Условия (1.1) описывают множество допустимых решений (D).
Допустимое решение X= , принадлежащее множеству (D), также называется допустимым планом. План , при котором целевая функция f(X)=f( принимает максимально (минимальное) значение, называется оптимальным планом.
Если в условиях (1.1) общей ЗЛП l =0, то такую задачу называют канонической ЗЛП. Если же в условиях (1.1) l=m, то такую задачу называют стандартной ЗЛП.
Универсальным методом решения ЗЛП является симплекс-метод, однако в некоторых случаях может быть использован более простой графический метод, который востребован в задачах финансового анализа.
Одним из способов выгодного вложения средств с целью получения прибыли является вложение средств в ценные бумаги. Оценка эффективности вложений и определения ожидаемой прибыли может быть сформирована и получена методами линейного программирования.
В качестве целевой функции ЗЛП можно рассмотреть, например прибыль, которую будут приносить ценные бумаги двух видов:
f( (1.2), где – рыночные цены акций первого и второго вида, n- срок операции в годах, , - ожидаемые доходности акции каждого вида, – количество акций каждого вида соответственно.
В систему ограничений будут входить:
бюджетное ограничение, определяемое средствами S, которыми располагает инвестор, то есть ;
ограничение по риску для каждого вида акций, считая мерой риска среднее квадратическое отклонение от ожидаемой доходности, которая является случайной величиной;
то есть j=1,2
где K – коэффициент «склонности инвестора к риску».
Таким образом, получим каноническую ЗЛП для двух неизвестных:
f
(1.3)
Такая задача может быть решена графическим методом.
Пример 1.1.
На формирование портфеля из двух видов акций инвестор планирует потратить 5000 рублей. «Коэффициент склонности к риску» у инвестора одинаков по акциям и равен 5. Характеристики акций заданы в таблице:
Тип акций | Ожидаемая доходность i% | Среднее квадратическое отклонение от доходности δ,% | Рыночная цена акции p, руб. |
I | |||
II |
Cрок, на который покупают акции, 1 год. Найти оптимальный состав портфеля и ожидаемый доход за год.
Решение.
Обозначим х1 – количество приобретаемых акций I вида, х2- количество приобретаемых акций II вида. Тогда бюджетное ограничение, связанное с имеющейся суммой S = 5000 руб, можно представить в виде: 25
Ограничение по риску для каждого вида акций:
или
Составим целевую функцию:
f()=25
Таким образом математическая модель задачи принимает вид:
f()=3
Построим область допустимых решений (D). Границы этой области определяются уравнениями, соответствующими неравенствам из системы ограничений 25 и дополнительными условиями ,
Сторона многоугольника допустимых решений, образованная границей 1-го неравенства, задается уравнением 25 . Для нахождения полуплоскости, соответствующей неравенству
25 выберем контрольную точку, например, с координатами
(0, 0). Подставляем в неравенство, получаем 0 5000. Так как неравенство выполняется, то искомой является полуплоскость, находящаяся ниже этой прямой и содержащая контрольную точку. Аналогично строим прямые и выбираем полуплоскости для остальных неравенств. Часть плоскости, удовлетворяющая всем неравенствам – область допустимых решений, это область, ограниченная ABC.
Таким образом, область допустимых решений – это ABC, стороны которого лежат на прямых 25 ; . (см. рис.1.1.)
Рис. 1.12
Построим вектор наибольшего роста целевой функции = где – координаты вектора, перпендикулярного линиям уровня целевой функции f()=3 Это вектор
Линии уровня, перпендикулярные , определяются соотношением
3 Будем перемещать линию уровня по направлению вектора . Последней общей точкой линии уровня и области допустимых решений является точка В, образованная пересечением прямых
25 и x=60. Именно в этой точке целевая функция достигает максимального значения. Решая систему уравнений , определяем координаты точки В: . Вычисляем значение целевой функции в этой точке: f =3∙60+175∙4=880
Таким образом, для получения максимального ожидаемого дохода 880 рублей, инвестору следует купить 60 акций первого вида и 175 акций второго вида.