(от неограниченных функций)
Обобщим понятие определенного интеграла на случай подынтегральной функции, неограниченной на промежутке интегрирования.
Определение. Несобственным интегралом второго рода от функции , непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв при , называется предел определенного интеграла с переменным верхним пределом при :
.
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует, то расходящимся.
Из определения и рис. 3.2 следует геометрический смысл несобственного интеграла второго рода: несобственный интеграл второго рода от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции с бесконечно длинной высотой.
Рис. 3.2. Геометрический смысл несобственного интеграла второго рода
Аналогично вводится несобственный интеграл второго рода от функции , непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв при :
.
Можно определить и несобственный интеграл второго рода от функции , имеющей бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке с промежутка :
.
Пример
,
т.е. данный интеграл сходится.