(4.1)
Рассмотрим горизонтально расположенную пружину с закреплённым левым концом. На правом конце пружины приклеплен груз массой m.
Обозначим точку отсчета
(в этом положении пружина не растянута). Обозначим
через положение груза в момент времени , как обычно через обозначим скорость,
через ускорение груза. Обязательно указываем физический закон, которому удовлетворяет
пружина. Это закон Гука. Считаем, что в момент времени на массу m действует сила упругости пружины равная (), сила сопротивления среды (например пружина находится в жидкой среде)()и некая внешняя сила растягивающая пружину . По второму закону Ньютона
Пусть верхний конец пружины приклеплён к потолку, а к нижнему концу прикреплён груз массой m. Посмотрим, как будет выглядеть уравнение движения груза в этом случае. Пусть ось координат ОУ направлена вертикально вниз и положение грузика в нерастянутом состоянии. Под действием силы тяжести пружина растянется и упругая сила пружины уравновесит вес груза:
|
|
В момент времени на пружину будет действовать сила упругости ,
сила сопротивления среды , внешняя сила воздействия на пружину и сила тяжести . По второму закону Ньютона
Получаем то же самое уравнение.
Рассмотрим различные ситуации.
Если на пружину не действует внешняя сила и она совершает колебания в среде с сопротивлением. То дифференциальное уравнение принимает вид Положительная константа характеризует среду сопротивления движению. Положительная константа характеризует материал, из которого изготовлена пружина. Характеристическое уравнение даёт корни
Решение неоднородного ЛДУ зависит от вида корней и правой части . На практике очень часто правая часть имеет специальный вид . (1)
Определение 1. Назовём характерным числом правой части (1) комплексное число Вид решения неоднородного ЛДУ существенно зависит от того каким образом связаны между собойчисла .
Рассмотрим примеры нахождения общего решения линейного неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Данный алгоритм мы назвали методом подбора и рассматривали его на предыдущей лекции.
Пример 1. Найти общее решение неоднородного ЛДУ .
Решение. Находим корни характеристического уравнения . . Найденные дают нам ФСР: . Согласно теории линейных дифференциальных уравнений общее решение неоднородного уравнения задаётся формулой
.Здесь любое конкретное решение неоднородного уравнения. Выписываем характерное число определяющее правую часть. Замечаем, что есть совпадение . Поэтому частное решение ищем в виде . Подберём так, чтобы было решением ,то есть . Дифференцируя и раскрывая скобки получаем . Откуда .
|
|
Общее решение имеет вид .
Пример 2. Найти общее решение неоднородного ЛДУ .
Решение. Находим корни характеристического уравнения . . Найденные дают нам ФСР: . Согласно теории линейных дифференциальных уравнений общее решение неоднородного уравнения задаётся формулой
.Здесь любое конкретное решение неоднородного уравнения. Выписываем характерное число определяющее правую часть. Замечаем, что оба характеристических числа не совпадают с . Поэтому частное решение ищем в виде . Подберём так, чтобы было решением , то есть . Дифференцируя получаем
Раскрывая скобки, получаем
Отсюда . Общее решение имеет вид .
Пример 3. Найти общее решение неоднородного ЛДУ .
Решение. Находим корни характеристического уравнения . . Найденные дают нам ФСР: . Согласно теории линейных дифференциальных уравнений общее решение неоднородного уравнения задаётся формулой
.Здесь любое конкретное решение неоднородного уравнения. Выписываем характерное число определяющее правую часть. Замечаем, что есть совпадение . Так как правая часть уравнения , то частное решение ищем в виде . Подберём так, чтобы было решением ,то есть . Дифференцируя и раскрывая скобки получаем . Откуда .
Общее решение имеет вид .
Вернёмся к задаче о пружинах. Как мы уже знаем уравнение колебания пружины имеет вид
Или
Пусть требуется решить задачу о колебании пружины, Если первоначальное отклонение от положения равновесия было равно 4м, а начальная скорость равнялась 0м/с. Таким образом требуется решить начальную задачу
Тогда .Грузик на пружине будет совершать колебания по закону (общее решение) . Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то подставляя начальные данные в уравнение движения грузика определяем: : . Отсюда
. Колебание грузика на пружине дается формулой:
График движения представлен на рис.1.
Рис.1
Уменьшим вязкость среды и положим . Тогда колебания грузика будут даваться дифференциальным уравнением . Общее решение которого
имеет вид
Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет
Рис.2
Пусть колебания грузика происходят в вакууме, т.е. среда не сопротивляется движению грузика =0, . Тогда дифференциальное уравнения движения грузика принимает вид
, а общее решение .
Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет
Рис.3
Пусть теперь среда, в которой колеблется пружина, очень вязкая
ДУ становится таким . А уравнения движения грузика имеет вид
Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет
Рис.4
Пусть теперь среда, в которой колеблется пружина, такова, что . Например
ДУ в этом случае становится таким . А уравнение движения грузика имеет вид . Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет
Рис.5
Движение грузика будет неустойчивым и если продолжать уменьшать вязкость среды начнутся колебания.
Рассмотрим движение грузика под действием внешней силы
Центр колебаний груза смещён в точку
Рис.6
Рассмотрим движение грузика под действием внешней силы
Рис.7
Центр колебаний груза постоянно с течением времени смещается вправо.
Рассмотрим движение грузика под действием внешней периодической силы
Рис.8
Рассмотрим движение грузика под действием внешней силы
Рис 9. Амплитуда колебаний растёт (резонансное явление).
|
|