Впервые формулу для определения критической силы Рк р получил российский учёный Л. Эйлер в середине XVIII века
. | (4.4) |
Здесь Е – модуль упругости материала стержня; J min – меньший из главных центральных моментов инерции; l – длина стержня; m – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от условий закрепления стержня, его численное значение берут из справочников.
На рис. 27 приведены значения m для расчетных схем к задаче 4.4.
m = 1 m = 2 m = 0,7 m = 0,5
Рис. 27
Склонность стержня к потере устойчивости характеризуется его гибкостью l, которая определяется по формуле
. | (4.5) |
где – минимальный радиус инерции сечения бруса, ; F – площадь поперечного сечения.
В связи с тем, что в формулу Эйлера входит Е – модуль упругости (коэффициент пропорциональности между напряжением и деформацией), то использовать её можно только для стержней, которые теряют устойчивость при напряжениях, не превышающих sпц – предела пропорциональности материала, или у которых гибкость l больше или равна предельной гибкости lпред. По физическому смыслу lпред есть гибкость стержня, который теряет устойчивость при напряжениях, равных sпц, и является характеристикой материала. Значения lпред для различных материалов приводятся в справочниках. В инженерных расчетах для всех сталей можно брать lпред = 100.
Однако в некоторых инженерных конструкциях применяются такие стержни, которые могут потерять устойчивость при напряжениях превышающих sпц. В этом случае предельное напряжение определяется по формуле, которую предложил российский инженер и ученый Ф.С. Ясинский
. | (4.6) |
С учетом формулы (4.6)
. | (4.7) |
Здесь а, b – эмпирические коэффициенты, имеющие размерность напряжений, численное значение которых для различных материалов приведено в справочниках. Для стали Ст. 3 а = 310 МПа, b = =1,14 МПа.
При некоторых значениях l sкр = sТ (т.е. пределу текучести). Это значение l обозначается как l0 и называется начальной гибкостью, l0 может быть определена исходя из формулы (4.6).
. |
Так, для стали Ст. 3 sТ = 240 МПа, тогда получим
. |
При l < l0 расчет на устойчивость не производится. Стержни с такой гибкостью называются стержнями малой гибкости и расcчитываются на сжатие. Однако для единообразия расчета и в этом случае можно считать
. | (4.8) |
Здесь Рпред – предельная сила из расчета на сжатие.
Для обеспечения надежной работы сжатых стержней сила прикладываемая к стержню должна быть меньше, чем Ркр. С этой целью вводится коэффициент запаса по устойчивости ny (ny > 1).
Тогда условие устойчивости можно выразить зависимостью
. | (4.9) |
Здесь – допускаемая сила по условию устойчивости.
, | (4.10) |
где – нормативный коэффициент запаса по устойчивости.
4.4.2. Алгоритм определения Ркр и [Р] у с использованием