Лабораторная работа №12: Нахождение решения задач нелинейного программирования (метод множителей Лагранжа)

Цель работы:

Научиться решать задачи нелинейного программирования.

Рекомендации по решению:

1. При решении задач нелинейного программирования средствами Microsoft Excel используется надстройка Поиск решения, которая позволяет найти оптимальные решения.

2. При решении задач линейного программирования средствами MathCad с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

Задание к лабораторной работе:

Составить математическую модель задачи. Для расчёта модели использовать метод множителей Лагранжа.

Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже х_{ кг муки через магазин расходы на реализацию составляют ден. ед., а при продаже x₂ кг муки посредством торговых агентов — ден. ед. Определить, сколько кг муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки для продажи выделяется 5000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи. Найдем минимум суммарных расходов

при ограничениях:

х_{ + х₂ = 5000,

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа.

Найдем частные производные функции F по х₁, х₂ и λ, приравняем к нулю, получим систему уравнений:

Из первого и второго уравнений имеем x₁ – x₂ =0.

Решая это уравнение совместно с третьим, имеем λ = -5000, х₁ = 2500, х₂ = 2500, L=12 500 тыс. ден. ед. Давая х₁ значения больше и меньше 2500 находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х₁ = х₂ = 2500 достигает ми­нимума.

Ответ. Для получения минимальных расходов необходимо расходо­вать в сутки через магазин и торговых агентов по 2500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 тыс. ден. ед.

I вариант решения в Exsel

II вариант решения в Exsel

Варианты заданий: