Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.
Если интегрируема на отрезке
, то, очевидно, она интегрируема также на любом отрезке
, вложенном в
.
Положим по определению
,
где , а функция
называется интегралом с переменным верхним пределом.
Пусть на отрезке
. Тогда значение функции
в точке
равно площади
под кривой
на отрезке
.
Это позволяет по новому взглянуть на некоторые известные функцию Например, , где
, поэтому значение функции
в точке
численно равно площади
под гиперболой
на отрезке
.
Рассмотрим теперь свойства функции .
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке
. Тогда в каждой точке
отрезка
производная функции
по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции
, т.е.
. (2)
Доказательство.
Покажем, что функция
(3)
является первообразной функции .
Согласно определению производной,
|
|
.
Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде
, где
и
при
.
Следовательно, .
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке
, то функция
также непрерывна на
.
Вычисление определенного интеграла возможно с применением первообразной для функции по формуле Ньютона-Лейбница.
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке
и
– первообразная функции
, то
.(4)
Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница.
Доказательство.
Возвратимся к уравнению (3). Полагая , находим значение постоянной
:
.
Полагая в этом же уравнении , получаем:
.
Нахождение определённых интегралов с использованием формулы (4) осуществляется в два шага: на первом шаге находят первообразную для подынтегральной функции
; на втором – применяется собственно формула (3) – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. Введем обозначение для приращения первообразной
.
Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.
Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:
1) функция непрерывна на отрезке
;
2) отрезок является множеством значений функции
, определенной на отрезке
и имеющей на нем непрерывную производную;
3) и
, то справедлива формула
.
Пример 1. Вычислить .
Решение. Положим . Тогда
и
.
Если , то
, и если
, то
. Следовательно,
.
Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.
|
|
Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема 5. Если функции и
имеют непрерывные производные на отрезке
, то справедлива формула
.
Пример 2. Вычислить .