Спецификация тренда

Первостепенное внимание к изучению тренда связано с тем, что именно тренд характеризует устойчивую в перспективе тенденцию в развитии изучаемого процесса. Например, минимальные риски при покупке акций обеспечивает положительный тренд в ряде динамики, отражающем курс этих акций в течение длительного периода наблюдений.

Спецификация тренда выполняется в два этапа. Цель первого – выявление общего вида для функции тренда f (t). На втором этапе выполняют оценку параметров в уравнении тренда на основе имеющихся статистических данных.

При небольших колебаниях в уровнях ряда y_t выбор формы (вида функции) тренда f (t) можно осуществить визуально на основе графика временного ряда.

Значительные колебания в уровнях ряда могут заглушать тренд, поэтому сначала уровни ряда «очищают» от периодических колебаний, а уж потом определяют вид функции f (t). Процедуру выравнивания уровней y_t называют сглаживанием ряда. Выполняют ее с помощью специальных методов: скользящего среднего, экспоненциального сглаживания и т. п. Например, метод скользящей средней состоит в том, что фактические уровни временного ряда заменяются их средними значениями, погашающими (как и всякие средние) случайные колебания. В результате основная тенденция вырисовывается в виде некоторой плавной кривой.

Наконец форму тренда можно определить путем вычислительного эксперимента на базе специализированных компьютерных программ (например, Excel). Соответствующая процедура называется фильтрацией и, в соответствии с названием, она очищает уровни ряда от колебаний. Результат сглаживания ряда – подходящая форма тренда (прямая, парабола, экспонента…).

После выявления формы тренда любым из перечисленных способов его параметры можно оценить обычным методом наименьших квадратов (МНК). Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации путем логарифмирования и/или замены переменных.

Следует отметить, что для временных рядов статистические предпосылки регрессионного анализа выполняются не полностью. Тем не менее, оценки тренда и в этих условиях обычно оказываются разумными, если удачно выбрана форма тренда и среди наблюдений нет больших выбросов.

Приведем пример использования МНК для вычисления параметров тренда в случае, когда колебания в уровнях временного ряда незначительны и предположение о линейной форме тренда довольно уверенно выдвигается по графическому изображению ряда.

Пример спецификации тренда
при незначительных колебаниях в уровнях ряда

Имеются данные (табл. 4) о численности работников компании (y_t, тыс. чел.).

Таблица 4

	Год, t
yt	1,1	2,4	4,6	5,4	5,9		9,7	11,2

График временного ряда (рис. 8) показывает незначительные колебания в уровнях. Визуально угадывается линейный тренд:

. (24)

Рис. 8.Временной ряд численности работников компании и соответствующий ему линейный тренд

Вычисление автокорреляционной функции показывает, что ее максимальное значение достигается при лаге L = 1: r (1)» 0,98. Наблюдаемое значение t -статистики t = = . Для уровня значимости α = = 0,05 и числа степеней свободы n = 7 – 2 = 5 критическое значение t (α/2, ν) = 2,57. Так как | t | > t (α/2,ν), вывод о наличии линейного тренда в ряду динамики считается обоснованным.

Оценим линейный тренд (24) по имеющимся выборочным данным. В этих целях применим известные нам формулы (7) и (8). В качестве x_i берём время t = 1986, 1987, 1988,..., которое для удобства кодируем так: t = 1, 2, 3,.... Если длина временного ряда равна n, то формулы (7) и (8) принимают вид:

, (25)

. (26)

Выполним подготовительные расчеты:

;

;

;

.

Подставляя эти результаты в (25) и (26), получим:

;

.

Тогда выборочное уравнение тренда будет иметь вид:

Проверим наличие других детерминированных компонент в уровнях ряда. Для этого найдём остатки E_t, вычитая из исходных значений y_t трендовую компоненту T_t (табл. 5).

Таблица 5

t
yt	1,1	2,4	4,6	5,4	5,9		9,7	11,2
Tt	1,125	2,529	3,932	5,336	6,739	8,143	9,547	10,950
Et	–0,025	–0,129	0,668	0,064	–0,839	–0,143	0,153	0,250

Для полученных остатков E_t вычислим коэффициенты автокорреляции r (L) при разных значениях лага L (табл. 6).

Таблица 6

L	r (L)	n	| t |	t (α/2,ν)
	0,035		0,078	2,571
	–0,619		1,762	2,776
	–0,230		0,528	3,182

Поскольку для выбранного уровня значимости α = 0,05 все величины t -статистик оказались меньше критических значений t (α/2, ν), то исследуемый ряд не содержит помимо тренда никаких других детерминированных составляющих. Остатки E_t имеют чисто случайную природу, декомпозиция временного ряда завершена.

Используем результаты моделирования для прогноза на 1994-й год, которому соответствует t = n + 1 = 8+1 = 9:

.

Предполагаемая численность работников в 1994-м году будет составлять 12,357 тыс. человек.