Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой

При изучении социально-экономических процессов и явлений может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня, например, образование, пол, фактор сезонности. Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

Оценить влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уравнения регрессии можно путем введения фиктивных переменных.

В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные) переменные, которые принимают всего два значения: «0» и «1». Например, при исследовании зависимости заработной платы от уровня образования Z можно рассмотреть k=3 уровня: начальное образование, среднее и высшее. Обычно вводят (k-1) бинарную переменную. В нашем случае потребуется ввести две фиктивные переменные.

Тогда регрессионная модель запишется в виде:

y= b₀ + b₁∙x₁ + … + b_m∙x_m + b_m+1∙z₁ + b_m+2∙z₂ +ε,

где

x₁, …,∙ x_m – экономические (количественные) переменные.

Наличие у работника начального образования будет отражено парой значений z₁=0, z₂=0.

Параметры при фиктивных переменных z₁ и z₂ представляют собой разность между средним уровнем результативного признака для соответствующей группы и базовой группы (в нашем примере это работники с начальным образованием).

При построении регрессионных моделей по неоднородным данным необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле, можно ли объединить их в одну и рассматривать единую модель регрессии?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться тестом Г.Чоу.

По каждой выборке строятся две линейные регрессионные модели:

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид – H₀: b ' =b ''; D(ε ' )= D(ε '' )= σ².

Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну объема n = n₁ + n₂.

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза H₀ отвергается на уровне значимости α, если статистика

где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, n = n₁ + n₂.

Для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда можно также использовать тест Д.Гуйарати.

Пример 4. Рассмотрим полученную в примере 1 модель зависимости балансовой прибыли предприятия торговли (тыс. руб.) от следующих переменных:

- фонд оплаты труда, тыс. руб.; - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Известно, что первая выборка значений переменных объемом n₁ =12 получена при одних условиях, а другая, объемом n₂ =12, - при несколько измененных условиях.

Задание: Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии по ?

Решение.

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

В соответствии со схемой теста построим уравнения регрессии по первым n₁ =12 наблюдениям. Результаты представлены в таблице 8.

Таблица 8

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1,02E+09	5,1E+08	11,9033	0,002967
Остаток		ESS1 = = 3,85E+08	4,3Е+07
Итого		1,40E+09

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по оставшимся n₂ =12 наблюдениям, представлены в таблице 9.

Таблица 9

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1,87Е+09	9,33E+08	57,1758	7,6549E-06
Остаток		ESS2 = = 1,47E+08	1,63Е+07
Итого		2,01E+09

Результаты регрессионного и дисперсионного анализа модели, построенной по всем n = n₁ + n₂ = 24 наблюдениям, представлены в таблице 3 (ESS = 6,39Е+08):

Рассчитаем статистику F по формуле:

.

Находим табличное значение F_табл = FРАСПОБР(0,05;3;18) = 3,15.

Так как, F_расч < F_табл, то справедлива гипотеза , т.е. надо использовать единую модель по всем наблюдениям. ¨