Интеграл вида
(32)
называется двойным интегралом от функции по заданной на плоскости замкнутой области . При этом функция предполагается непрерывной в области . Если , то интеграл
(33)
в этом случае имеет смысл площади области . Если и является определенной функцией и , то интеграл (32) имеет смысл объема тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью , а с боков поверхностью цилиндра, образующие которой параллельны оси , а направляющей является граница области .
Двойной интеграл обладает следующими свойствами:
1. , . (34)
2. . (35)
3. , (36)
где .
Введем для границы области (Рис. 2) следующие обозначения:
дугу обозначим как кривую
дугу обозначим как кривую
дугу обозначим как кривую
дугу обозначим как кривую .
Вычисление двойного интеграла осуществляется сведением его к двукратному (повторному) интегралу. Используя введенные обозначения можно записать
. (37)
Левый интеграл (по ) в (37) называется внешним интегралом, а правый интеграл (по ) – внутренним. Изменяя порядок интегрирования в двукратном интеграле, можно записать:
|
|
. (38)
Для правильной расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле целесообразно внутри области провести прямую, параллельную оси переменной, по которой осуществляется интегрирование во внутреннем интеграле. Пересечение этой прямой с границами области указывает на значения пределов интегрирования.
Пример 16. Вычислить двойной интеграл , меняя порядок интегрирования по и . Область ограничена кривыми и (Рис. 3).
Решение.
Делаем рисунок области . Находим координаты точки из равенства ординат обеих кривых в точке :
; ; .
Записываем двойной интеграл в виде двукратного, рассмотрев 2 случая:
а) внутренний интеграл вычисляется по .
Проводим внутри области прямую (Рис. 3). Как видно, абсцисса на прямой изменяется от на верхней кривой до на нижней кривой. Значения y во внешнем интеграле изменяются от до 16. Т.о. имеем:
;
б) внутренний интеграл вычисляется по .
Проводим внутри области прямую (рис. 3). Ордината на прямой изменяется от на нижней кривой до на верхней кривой. Значения во внешнем интеграле изменяются от до . Т. о. имеем:
.
Результаты вычисления интеграла двумя способами совпадают.
При вычислении двойного интеграла в полярных координатах в подынтегральном выражении делается замена: , , :
, (39)
где обозначены на рис. 4.