Преимущества шкалы полезности

В примере 5, используя правило максимизации математических ожиданий, продемонстрируем плюсы оценок полезности по сравнению с денежными доходами. Сначала воспользуемся критерием максимизации дохода. Переоценим доходы с помощью оценок полезности, а затем применим правило максимизации ожидаемой полезности.

Пример 5. Допустим, вы накопили 5000 ф. ст., чтобы купить дом в следующем году. И вдруг знакомый предлагает вложить деньги в его бизнес. В случае неудачи вы теряете 5000 ф. ст. и возможность купить дом. В случае успеха через год вы получаете 30000 ф. ст. Специалист по маркетингу оценивает вероятность успеха 0.3. Альтернативный вариант положить деньги в банк под 9% годовых и никакого риска.

Таблица 21. Доходы.

По денежной шкале вложение денег в бизнес дает наибольший ожидаемый доход. Поэтому использование этого правила влечет за собой риск в расчете на большую прибыль. Однако этот выбор несколько опрометчив, т.к. в случае потери денег покупка дома останется лишь мечтой.

Шкала полезности для данного примера выглядит следующим образом.

0 – наименьший доход – 0 ф. ст.,

100 – наибольший доход – 30000 ф. ст., т.е.

U(0)=0 и U(30000)=100

На практике неважно, как будет градуирована шкала полезности – от 0 до 100 или от 0 до 1, имеет значение лишь соразмерность.

Для дохода 5450 ф. ст. не требуется оценка полезности, нужно только определить, какова должна быть вероятность Р дохода 5450 ф. ст., если посчитать его настолько же привлекательным, насколько и доход 30000 ф. ст. с вероятностью Р и 0 с вероятностью

(1-Р).

Предположим, достаточна вероятность по меньшей мере 60% успеха, т.е. Р=0.6, тогда полезность 5450 ф. ст.:

U(5450)=p×100=0.6×100=60

Таблица оценок полезности для данного примера следующая.

Таблица 22. Таблица полезности.

Вложение денег в банк – решение с наибольшей ожидаемой полезностью, однако это – прямо противоположно выбору, сделанному на основе критерия ожидаемого дохода, из-за учета риска, связанного с возможным исходом бизнеса. Для того чтобы оценить этот риск, начертим график, учитывающий оценки полезности и дохода. Сделать это можно проставив значения U(0) и U(100) и соединив их прямой линией. Если оценка полезности 5450 ф. ст. находится выше этой линии, то принимающий решение принадлежит к числу тех, кто избегает риска, если ниже то наоборот.

Рис 1. График полезности.

Как видно из графика, принимающий такого рода решение относится к нерискующим. Идею полезности можно использовать для решения задач несколькими возможными решениями.

“Дерево” решений

До этого рассмотренные примеры, включали в себя единственное решение. Однако на практике результат одного решения заставляет принимать следующее решение и т.д. Эту последовательность нельзя выразить таблицей доходов, поэтому нужно использовать какой-то другой процесс принятия решений.

Схема “дерево” решений очень похожа на схему “дерево” вероятностей. Ее используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исхода испытаний. Составляя “дерево” решений нужна нарисовать “ствол” и “ветви”, отражающие структуру проблемы. Располагаются “деревья” слева направо. “Ветви” обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений.

Квадратные “узлы” обозначают места, где принимаются решение, круглые “узлы” - появление исходов. Так как принимающий решение не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления.

Когда все решения и их исходы указаны на “дереве”, просчитывается каждый из вариантов, и в конце проставляется его денежный доход. Все расходы, вызванные решением, проставляются на соответствующей “ветви”.

Пример 6. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 ф. ст. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить в дело со 100% возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Что делать? Давать ему заем или нет? При решении задачи можно воспользоваться как таблицей доходов, так и “деревом”. Рассмотрим оба варианта.

Решение 1 (по таблице доходов).

Максимизируем ожидаемый в конце года чистый доход, который представляет собой разность суммы, полученной в конце года, и инвестированной в его начале. Таким образом, если заем был выдан и возвращен, то чистый доход составит:

Чистый доход = ((15000+15% от 15000)-15000)= 2250 ф. ст.

Таблица 23. Чистый доход в конце года, ф. ст.

Если банк решает выдать заем, то максимальный ожидаемый чистый доход равен 1560 ф. ст.

Решение 2 (по “дереву” решений).

В данном случае также используется критерий максимизация ожидаемого в конце года чистого дохода.

Рис. 2. “Дерево” решений для примера 6

Далее расчет ведется аналогично расчетом по таблице доходов. Ожидаемый чистый доход в кружках А и В вычисляется следующим образом:

В кружке А:

Е(давать заем)=(17250×0.96+0×0.04)-15000=1560 ф. ст.

В кружке В:

Е(не давать заем)=(16350×1.0-15000)=1350 ф. ст.

Поскольку ожидаемый чистый доход больше в кружке А, то принимается решение выдавать заем.